Show do Milhão

Você foi convidado para participar do Show do Milhão! É, parece que a sorte bateu na sua porta, você que sempre foi considerado super inteligente por colegas, amigos e a família. Agora é a sua chance, afinal, você não é como aqueles outros convidados do programa que escorregaram logo nas primeiras perguntas. Enfim, será um grande dia e você finalmente resolverá sua situação financeira, se não ganhar o milhão, você ficará feliz com 100 ou 200 mil.

No dia da gravação do programa, você já não estava tão confiante. Muita coisa estava acontecendo ao mesmo tempo, a ansiedade estava nas alturas e você não queria decepcionar seus amigos e familiares. Iria aparecer pela primeira vez num programa de TV, conhecer o Silvio Santos e tinha ainda que parecer confiante.

E o show começou, vieram as primeiras perguntas, e... graças a Deus... eram simples como você esperava. Você começou bem, acertou a primeira, a segunda, a terceira. Chamou os universitários na quarta, pediu ajuda da platéia em alguma outra, sacou a dica que o Silvio Santos lhe deu e acertou a penúltima. Nossa, você acertou todas, só falta a pergunta do milhão! Silvio perguntou se você queria parar por aí e pegar o dinheiro. Você, com a confiança recobrada desafiou. Não, quero o milhão.

A pergunta derradeira então foi feita.

Algo não caiu bem, a pergunta era surpreendentemente fácil, você sabia disso, porém, por algum motivo, você não tinha certeza da reposta. O coração acelerou, as mão ficaram geladas, agora não dava pra voltar atrás. Enfim, você foi em frente e escolheu sua alternativa... a ERRADA! Você perdeu! Vai ter que voltar pra casa com o prêmio de consolação que mal paga o tempo que você gastou.

Não desejo a história relatada acima para ninguém. Porém, suponha que isso realmente ocorreu com você, ou pior, que ainda vai ocorrer. Gostaria de saber, caro leitor, qual é a pergunta que você preferiria ter errado entre as 3 que apresentarei abaixo:

1. Qual é a capital da Colômbia ?
a) La Paz
b) Buenos Aires
c) Bogotá
d) Quito
e) Caracas

2. A girafa é um:
a) réptil
b) crustáceo
c) molusco
d) mamífero
e) anfíbio

3. Quantas casas decimais tem o número PI
a) 0
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinito


Não fiz uma pesquisa formal e realmente gostaria de saber a opinião do leitor. Porém, numa coleta ocasional de opiniões pude constatar o que temia. A grande maioria prefere errar a questão 3, que envolve algum conhecimento de matemática. As pessoas em geral pensam que não saber matemática é romântico, é cool, é chique. Quase escuto o pensamento delas: "Eu gosto da vida, das pessoas, das relações humanas, gosta da natureza e das belezas da vida, tenho ojeriza a matemática e aos números, eles não tem vida, não tem emoções, são chatos e enfadonhos. Não é pra mim."

Quantos de nós já ouviu algo do tipo: "ai, nunca fui bom em matemática", "nossa, eu não sei fazer essa conta, odeio matemática". De fato, as pessoas tem quase orgulho de dizer esse tipo de coisa. Pior do que perder o milhão é passar vergonha na frente do Brasil inteiro, ou principalmente dos amigos. Então melhor não saber matemática do que falar que a capital da Colômbia é Buenos Aires, ou afirmar que a girafa é um réptil. Alguns argumentarão que a questão sobre o PI é muito mais difícil que as outras, portanto é melhor errar essa. Eu pergunto, é mais difícil mesmo?

Há alguns anos estava ministrando um curso sobre uma linguagem de programação para estudantes de ciência da computação. Um dos exercícios consistia em realizar um aumento de 20% para todas as pessoas que constavam no banco de dados. Até aí, nenhum problema. O passo seguinte do exercício consistia em voltar atrás, supondo que o aumento foi indevido, retornar os valores ao ponto que estavam. Surpreendentemente, nenhum dos 8 alunos conseguiu resolver o problema. Os 3 que tentaram cometeram o mesmo erro: eles aplicaram 80% ao valor obtido no primeiro exercício.

Salário Inicial: $ 100,00
Salário com aumento de 20% : $ 120,00
Tentativa de voltar ao salário inicial considerando 80% de $ 120,00: $96,00

$ 100,00 é diferente de $ 96,00

Não fiquei muito incomodado com o erro em si, fiquei incomodado com a indiferença ou talvez com a falta de vergonha, não ouvi nem um: "ah... é mesmo.". Os alunos continuaram impassíveis como se aquele erro não fosse assunto do curso.

E quanto ao PI

O número PI possui infinitas casas decimais. Ele é impressionante em muitos sentidos, e há livros inteiros escritos sobre ele. O PI é definido como a razão entre o comprimento da circunferência de um círculo e o seu diâmetro, para QUALQUER círculo.

Quando perguntei para um grande número de pessoas, quantas casas decimais tinha o número PI, obtive um número alarmante de repostas 2. Provavelmente as pessoas se lembravam que o PI é igual a 3,14 e não

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097
4944592307816406286208998628034825342117067982148086513282
3066470938446095505822317253594081284811174502841027019385
2110555964462294895493038196442881097566593344612847564823
3786783165271201909145648566923460348610454326648213393607
2602491412737245870066063155881748815209209628292540917153
6436789259036001133053054882046652138414695194151160943305
7270365759591953092186117381932611793105118548074462379962
7495673518857527248912279381830119491...

Intervalo entre Números Primos

Minha mulher me pediu 5 números consecutivos que não fossem números primos.

Não acreditam? Ok, ela não pediu isso mesmo, é claro, fui eu quem a induzi a fazer esta pergunta. Em resposta apresentei a lista, que já havia calculado anteriormente: 24,25,26,27,28

Ela não se impressionou e ainda me olhou com uma cara esquisita do tipo: “Você está com algum problema?”. Não desanimei e lembrei-a que todos os números da minha lista não eram primos. Ela deu de ombros e continuou a fazer coisas menos nobres e importantes como, por exemplo, o meu jantar. (em minha defesa, eu faço o jantar às vezes, faço uma pizza maravilhosa, vem até com embalagem da pizzaria da esquina).

Desafiei-a a fazer o mesmo, e pedi para me fornecer 3 números consecutivos não primos. Ela, jubilosa, disse: 14,15,16.

Fiz contato!

Ela investiu novamente, exigindo uma lista de 10 números. Já treinado, disparei: 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123.

Antes que o leitor me julgue um idiot savant, acrescento que já havia calculado alguns valores adiantando os números que ela tipicamente iria escolher.

Era minha vez novamente. Pedi entusiasmado: "Quero uma lista com 14000 números." Ela respondeu : "O jantar está na mesa!". Pronto, fim da brincadeira.

Espaço Mobral: Um número primo é um número que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo sem deixar resto. Os primeiros números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...

Matemáticos dificilmente encontram apoio social para conversar sobre seus assuntos prediletos, de maneira que muitas vezes fragmentos de atenção de baixa qualidade como esse são suficientes para despertar nossa vontade de pesquisar um pouco mais profundamente.

Uma chance para a computação

Instintivamente não é óbvio que uma lista tão grande possa existir, afinal a lista de números primos é infinita e eles não parecem estar muito espaçados.

Enfim, a pergunta é: É possível encontrar uma lista de 14000 números consecutivos que não são primos?

Esta pergunta, que eu mesmo fiz (matemáticos muitas vezes falam sozinhos) me inspirou a utilizar artilharia mais pesada. Desenvolvi um programa para encontrar a tal mega lista, se é que ela existe. Para testá-lo, comecei com listas pequenas, pedi 10 números e o programa respondeu os mesmos 10 que eu havia dito para minha esposa. Bom sinal.

Pedi 20 números e obtive: 1130 , 1131, 1132,...

Pedi 100 números e obtive: 370262, 370263, 370264, ...

Guloso, pedi 14000 e ... esperei... Esperei tanto que desisti . O programa simplesmente não parou de rodar. Diante deste quadro, a única conclusão é que o programa procurou (e procurou muito) mas não encontrou a lista nos primeiros milhões, ou bilhões (quem sabe) de números. Ainda assim não é possível afirmar que tal lista não existe, apenas que o computador ou o programa são lentos demais. Frustrante!

Um belo teorema

Sempre acreditei que quando a computação falha devemos recorrer a matemática, e parece que isso se encaixa perfeitamente a esse caso. Existe um belíssimo teorema sobre o assunto. O teorema diz que: “É possível conseguir listas de números não primos de QUALQUER tamanho”. Que 14000 que nada! Eu quero agora uma lista de 1.000.000!

O teorema ilustra uma técnica para se construir o primeiro número da lista desejada. A receita é a seguinte:

Suponha que queremos uma lista com 5 números consecutivos não primos. Então devemos:

• Escolher um número inteiro maior do que 1, digamos n

• Obter o primeiro número da lista calculando n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + n

Por exemplo, considerando n = 2, teríamos 2 x 3 x 4 x 5 x 6 + 2 = 722. De fato a lista 722, 723, 724, 725, 726 só possui números não primos. Podemos escolher qualquer valor para n. No caso n = 3, a lista seria 2523, 2524, 2525, 2526, 2527, também uma lista válida.

Observe que a fórmula não diz nada sobre encontrar a lista cujos números são os menores possíveis, ela apenas garante que encontraremos alguma lista do tamanho desejado. Como vimos anteriormente, a lista 24, 25, 26, 27, 28 é uma lista com números menores.

Para construir listas maiores basta estender a formula com mais fatores. Por exemplo, a fórmula para encontrarmos uma lista com 7 números será n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6) + n.

Ora, mais por que isso funciona? Simples, observe que o número n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + n é divisível por n, portanto um número não primo (já que n é maior do que 1). O próximo número n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + (n+1) também não é primo pois é divisível por (n+1). Enfim, o raciocínio pode ser estendido para todos os números consecutivos até n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + (n+4) que obviamente é divisível por (n+4).

Enfim, existem infinitos números primos e, mesmo assim, sempre é possível encontrar qualquer intervalo de números sem que ao menos 1 primo apareça. Este intervalo pode ser tão grande quanto desejarmos. Sabemos então que uma lista de 14000 números consecutivos não primos existe, só não conseguimos calcular seus números devido ao tamanho imenso do mesmo. Mesmo uma lista de 117 números, que meu computador conseguiu calcular, começa no número 1.349.534.