Número 9376

Na noite de quinta passada (29/03/2007) eu estava estudando uma versão atual da antiga linguagem de programação Smalltalk, uma distribuição chamada Squeak. A arquitetura da linguagem chamou minha atenção para uma série de fatores, porém não havia ningúem para eu discutir o assunto além da Fabiana que, para quem não sabe, é minha esposa.

Algo no meu íntimo dizia que a Fabiana não se interessaria pelos meandros da linguagem, então optei por uma abordagem diferente para ver se conseguia iniciar algum diálogo sobre o assunto:

— Olha Fabiana, sua calculadora consegue fazer 2 elevado a 100?
— Que? Minha calculadora não tem "elevado".
— Ah (suspiro)... Bom, pode ter certeza que ela não faz, pois o número é muito grande.
— Sei...
— Olha o que o "meu" software consegue fazer?

Neste ponto digitei o comando necessário e "voilà", lá estava o numerão equivalente a 2 elevado a 100. A Fabiana deu de ombros e fingiu estar bastante impressionada. Incentivado pelo "entusiasmo" dela, me engajei em uma cruzada pelos limites da linguagem.

— Olha agora, 2 elevado a 1000 !!! — e lá estava a resposta
— Olha, olha, olha agora, 2 elevado a 3000 !!! — eu de novo

E assim foi, a cada novo comando eu chamava a Fabiana para mostrar para ela como os números iam crescendo. 2 elevado a 5000, 6000, 7000, 8000, 10000, 15000 e 20000. Ela sempre respondia com algum comentário do tipo "Sei" ou "Que legal" ou "Nossa" até que em determinado momento sua expressão se alterou de forma que eu pude ler seu pensamento.

Já esperando por uma frase do tipo: "Você já brincou bastante, agora vamos dormir, né?" me surpreendi com o que de fato ouvi.

— Faz 2 elevado a 1000 de novo — ela disse.
— 2 elevado a 1000!? É prá já!
— Hum... faz agora 2 elevado a 2000 — comandou ela novamente
— Aí está.
— 2 a 3000 agora.
— Pronto.

Neste ponto o que ouvi foi ainda mais surpreendente, pelo menos para mim.

— Engraçado, você reparou que os números sempre terminam com 9376

Olhei para o número, repeti as contas, e sim, de fato, os números da forma 2 elevado a múltiplos de 1000 terminavam todos como 9376. Fiquei intrigado com aquilo e recomecei os testes. Logo descobri que 2 elevado a 500 também resulta num número que termina com 9376, e também 2 elevado a 1500, 2500, 3500, etc... Enfim, conclui que o número 2 elevado a qualquer múltiplo de 500 termina com 9376.

Bom, como qualquer matemático que se preze, eu não estava satisfeito, era ainda necessário provar o que parecia ser uma lei universal. Peguei lápis e papel e comecei a rabiscar. Não repetirei a demonstração aqui, mas de fato, foi possível provar que 2 elevado a qualquer múltiplo de 500 termina sempre com 9376 teorema que, em homenagem a minha esposa, chamarei de Teorema da Fabiana.

Porém, no processo de demonstração, descobri um resultado bastante interessante, e mais fundamental do que o anterior. Descobri que qualquer número que termine com 9376 multiplicado com outro número que termine com 9376 termina com um número que termina com 9376. Observe:

9376 x 9376 = 87909376
8059376 x 129376 = 1042689829376

Este resultado explica o Teorema de Fabiana. Uma vez que 2 elevado a 500 termina com 9376, 2 elevado a 500k (com k inteiro) é igual a 2 elevado a 500 elevado a k, o que obviamente é um número que termina com 9376.

Empolgado com a descoberta de um novo resultado, desconfiei que alguém já poderia ter percebido esta curiosidade. Resolvi pesquisar um pouco no Google. Quem sabe tinha conseguido um resultado original (apesar de pequeno). As primeiras pesquisas foram promissoras, isto é, nada relacionado ao número 9376 referente ao fato recém descoberto. Insisti um pouco mais escolhi novas palavras chaves até quando usei "9376 Math curiosity" e bingo, encontrei alguém que havia percebido o fato.

A referência encontrada era um exercício do livro "Concrete Mathematica" do Donald Knuth e outros dois autores. Knuth é um gênio matemático e da ciência da computação. Foi ele que criou a linguagem TEX na década de 70 e o famoso livro "The Art of Programming Computer". O exercício que citava o resultado começava mais ou menos assim:

"Observe que o número 9376 tem uma interessante propriedade reprodutiva tal que 9376 elevado ao quadrado é igual a 87909376..."

Bom, o resultado que percebemos não foi inédito, nem difícil, nem provavelmente muito importante, porém foi divertido e educativo encontrar mais esta simetria