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sexta-feira, 18 de julho de 2008

Protocolo Isento de Inveja


Realizar partilhas entre irmãos é sempre problemático para os pais. Invariavelmente os envolvidos irão reclamar que os outros receberam uma parcela maior do bolo do que eles próprios. No final, sempre alguém sente inveja de alguém.

Por outro lado, pais experientes sabem que quando têm apenas dois filhos, é sempre possível definir um conjunto de regras que garanta uma escolha justa. É o famoso "eu corto, você escolhe". Um dos filhos corta o bolo, enquanto o outro escolhe o primeiro pedaço.

Observe que nenhum pode sentir inveja do outro (pelo menos idealmente). O filho que cortou o bolo tem certeza de que dividiu o bolo pela metade, enquanto o outro também não pode sentir inveja pois escolheu o primeiro pedaço.

Este procedimento tem até nome científico, é o Protocolo Isento de Inveja. Se seguirmos um protocolo isento de inveja podemos garantir que cada participante da partilha receba ao menos 50 por cento (para 2 participantes) do bolo em sua própria media. Em outras palavras o protocolo isento de inveja garante que todos os envolvidos pensem que escolheram um dos maiores pedaços.

Até aqui, nenhuma novidade, todos conhecemos este procedimento ancestral. A novidade ocorre quando tentamos resolver o problema para famílias com quantidades de crianças diferente de dois. A pergunta afinal é, existe um protocolo isento de inveja para n irmãos.

Protocolo do filho único

Bom, matemáticos adoram uma observação óbvia, então defino aqui o protocolo do filho único, que também é isento de inveja. Podemos explicá-lo mais ou menos assim: "eu não corto, e escolho o bolo todo". Note que o procedimento garante que a criança não sinta inveja dela mesma, correto? Enfim, o protocolo do filho único é um protocolo isento de inveja para n=1 irmãos.

Protocolo isento de inveja para 3 irmãos.


Agora vem a novidade. Incrivelmente, existe um protocolo isento de inveja para 3 irmãos, e vou procurar descrevê-lo abaixo. Chamarei os irmãos de Paulo, Ricardo e Eduardo. Na realidade escolhi os nomes de meus irmãos reais na esperança de cativá-los para um experimento. Como todos eles trabalham pouco e ganham muito tenho certeza de que dispõem de um tempo para a ciência:

  1. Paulo corta o bolo em 3 pedaços que considera iguais.
  2. Ricardo observa os pedaços e apara o que considerar maior, deixando o naco à parte.
  3. Eduardo então escolhe um dos 3 pedaços principais, seguido de Ricardo e Paulo. Há um porém, se Eduardo não escolheu o pedaço que foi cortado (não o naco, o pedaço cortado), Ricardo deverá escolhê-lo. Quem pegou o pedaço cortado será chamado de X e o outro será chamado de Y. Note que X e Y serão Ricardo ou Eduardo dependendo desta escolha.
  4. Agora vamos ao naco. Y corta o naco em 3 pedaços que considera iguais.
  5. X escolhe o primeiro pedaço do naco, depois Paulo, depois Y.

Pais cuidadosos deverão garantir que o procedimento acima é realmente livre de inveja. Para ajudá-los listo algumas observações.

  • Paulo não pode sentir inveja de ninguém, afinal dividiu o bolo em três partes que considera iguais e ficará com certeza com uma delas. De quebra, ganhará um pedaço do naco.
  • Ricardo não pode sentir inveja pois tem o direito de acertar a escolha que Eduardo fará aparando o pedaço que eventualmente considerar maior. Também terá o direito da primeira ou segunda escolha na divisão do naco.
  • Eduardo também não pode sentir inveja pode será o primeiro a escolher um dos pedaços depois que Ricardo aparar um pedaço. Além disso, se escolher o pedaço não aparado definirá a forma que o naco é dividido. Se não escolher o pedaço aparado, será o primeiro a escolher um pedaço do naco.

Apesar de mais complicado, o procedimento é válido é garante uma partilha livre de inveja. Para famílias mais numerosas, com mais de três filhos é ainda possível definir um protocolo livre de inveja como podemos verificar pelo artigo de Steven J. Brams e Alan D.Taylor chamado An Envy-Free Cake Division Protolo (Uma divisão de bolo livre de inveja). Apesar do nome, o artigo é sério e de fato estabelece que sempre é possível definir o protocolo para qualquer número de participantes.

Protocolo do irmão mais velho.

Como primogênito, há muito tempo defini um protocolo ótimo e bastante aplicável para os interesses do filho mais velho quando o assunto é a divisão do bolo. O protocolo do irmão mais velho pode ser definido com a frase: "eu corto, eu mesmo escolho". Ao contrário do protocolo isento de inveja, o protocolo do irmão mais velho visa atender aos interesses do filho mais velho.

Muitos de vocês se enganam se acham que a estratégia ótima a seguir para o filho mais velho é pegar 100% do bolo para si mesmo e deixar 0% para os demais irmãos. Neste caso, os irmãos mais novos retaliariam com choro o que chamaria a atenção dois pais que interviriam e aplicariam um protocolo muito mais injusto na perspectiva do filho mais velho: "os pais escolhem e dão para cada filho o que acham justo".

A arte de perseverar e maximizar os ganhos seguindo o protocolo do irmão mais velho é pegar o maior pedaço possível sem que os irmãos chorem ou adotem quaisquer outras formas de represálias. Observe que os irmão mais novos, mesmo pegando uma parcela menor do que 1/n podem optar por não chorar e se contentar com este pedaço. Chorar até que os pais tomem uma atitude tem seu custo em estresse e investidas a posteriori de um irmão mais velho enfurecido.

Se puxar bem pela memória, o leitor irá lembrar alguma cena de desenho animado onde um personagem corta um bolo em uma pequena fatia na intenção de partilhá-lo com o outro personagem. Porém, inesperadamente, o mesmo personagem que cortou a fatia devora o bolo todo deixando a pequena fatia para outro personagem. Temos aqui a mais pura aplicação do protocolo do filho mais velho.

O Problema dos Piratas

Para terminar, gostaria de deixar para o leitor um desafio muito interessante, cuja resposta é a a busca de uma estratégia ótima seguindo uma espécie de do protocolo do irmão mais velho. Dizem que o desafio é, ou foi utilizado no recrutamento de empresas como Microsoft ou Google (Como mover o Monte Fuji de William Poundstone). O problema é assim.

Cinco piratas pilharam um pote com 100 moedas de ouro. Para dividir as moedas entre eles, definiram o seguinte protocolo.

  1. O pirata mais velho propõem uma partilha.
  2. Todos votam, inclusive o mais velho. Se a partilha for aprovada pela metade ou mais, realiza-se a partilha como proposto, caso contrário, mata-se o pirata mais velho, e a palavra é passada para o segundo pirata mais velho reiniciando o processo.

A pergunta é: Você é o pirata mais velho, que partilha você propõem de maneira a maximizar o seu ganho?

7 comentários:

bioblogpe disse...

Muito boa essa série, juro que vou praticar com os meus filhos hehehe!
Qto ao desafio dá um nó na cabeça só em ler, sem dom para números infelizmente.
Mas, gostei do teu blog e vou divulgá-lo.
Um abraço
Thially Holanda

Salomão disse...

Vejo esse problema das seguintes maneiras.

A) Imagino como seria a disputa entre os dois últimos piratas. O mais novo e o núm. 4. Nessa condição, o número 5 saíra sem nada, e o número 4 ficará com todas as moedas.

B) Numa disputa entre três piratas, o pirata mais velho dará uma moeda para o pirata mais novo que aceitará a divisão, para não cair no cenário A, onde perde tudo.

C) Numa disputa entre quatro piratas, o pirata mais velho oferece uma moeda ao pirata acima do mais novo, que aceita o acordo para evitar o cenário B (em que fica sem nada).


DEfinindo agora:
Pirata um - Mais novo
Pirata dois - Acima do mais novo.
Pirata três - do meio
Pirata quatro - Acima do mais novo.
Pirata cinco - Mais velho

D) Numa disputa entre cinco piratas, o mais velho fica com todas as moedas, menos duas, dá uma ao mais novo (que vai aceitar para evitar o cenário C, em que não ganha nada) e uma para o pirata do meio, que vai aceitar também pois fica sem nada no cenário C, seguinte.

Agora pensando como um estudioso do comportamento humano, os seres humanos não são racionais, e talvez seja melhor dar mais do que uma moeda para cada um.

Abs.
Carlão

Salomão disse...

PAgerank 3!? Tá podeno...

Anônimo disse...

Finalmente você arranjou um tempinho aí do outro lado do mundo para escrever, filhão.
Ainda bem que eu tenho 4 filhos.
Além de ser mãe, de quebra sou matemática, então corto o bolo ao meio, giro-o 90°, pode ser no sentido horário ou anti-horário, e corto ao meio novamente.
Está pronto! Dou um pedaço para cada filho e ái daquele que reclamar que seu pedaço é menor.
Acabei não usando o "eu corto, você escolhe" para 2 filhos e inventei o "Protocolo isento de inveja maternal".
Eu, mãe, corto e você, filho, come, e nada de ficar com inveja do irmão.
Esse método pode ser usado para qualquer número de filhos.
Se alguma mãe necessitar de meus conselhos de como dividir um bolo, em 3, 5, 6, 7, etc partes, posso ajudar, matematicamente.
Quanto ao problema dos piratas, deixo para o Carlos resolver....estou vendo que ele gosta.
Beijos
mãe

Salomão disse...

E ai.. cade os posts..

A arte de vender disse...

Que irmaos filhos da p%$!, eu sairia de casa para nao ter que conviver com uma familia de cobras. Essa é a típica família que destroi um patrimônio familiar em tempo recordo.

Considerando que sao piratas inteligentes, eles vao querer votar sempre contra o mais velho, por que para eles é mais conveniente que ele morra para sobrar mais para eles.

A nao ser que o mais velho de uma porcentagem bem maior para os mais novos(2 mais novos), e nao de nada para o 3 e 4.

Unknown disse...

pegue 4 piratas e de 1 moeda para cada o pirata mais forte vai ficar com 96 moedas e esse é o maior número de moedas com que ele pode ficar contando com os 5 votos ele ganha

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