A Revolução dos Nerds

Toda criança sonha com o "que vai ser quando crescer". No meu tempo a resposta era óbvia, queria ser astronauta. Nasci em 73, 4 anos após o primeiro homem pousar na lua, portanto é compreensível que eu e meus amiguinhos estivéssemos apenas refletindo o que a mídia bombardeou nos adultos da época, nossos pais e tios. 

Ser astronauta naquela época era tão difícil quanto ser astronauta hoje e aqueles que levaram o devaneio da infância até a adolescência e juventude só se frustraram (menos um, o Marcos Pontes, o primeiro... e único astronauta brasileiro http://pt.wikipedia.org/wiki/Marcos_Pontes)

Sei de um caso curioso, de um primo meu, o Matheus, agora adolescente, que inteligentemente adotou uma estratégia totalmente diferente e, diga-se de passagem, vencedora. Quando inquerido há uns 10 anos sobre a pergunta, respondeu no mesmo momento: "Quero ser adulto". Bom Matheus, parabéns! Você está prestes a conquistar seu sonho de infância, enfim já é quase um adulto!

Hoje me pergunto o que as crianças querem ser quando crescer. Minha filha tem apenas 9 meses, portanto terei que esperar algum tempo para saber. De qualquer forma, aposto que não vai ser astronauta, afinal, os tempos são outros. Para ajudar as crianças de hoje fiz uma exaustiva pesquisa no google atrás das melhores profissões possíveis e, quem diria, encontrei o que queria. Compartilho com vocês a reportagem do Wall Street Journal sobre as melhores e piores profissões http://online.wsj.com/article_email/SB123119236117055127-lMyQjAxMDI5MzAxNjEwOTYyWj.html.

Deu a lógica afinal, a melhor profissão possível é o futuro sonho de consumo de toda criança, ser Matemático. O incrível é que as profissões seguintes também são altamente matemáticas: Atuário, Estatístico, Biólogo (????? ok... biólogo não), Engenheiro de Software e Analista de Sistemas Computacionais. Depois de Bill Gates, Steve Jobs e o casal andrógino do Google, parece que a revolução dos nerds está realmente acontecendo. 

Para manter a simetria, informo que a pesquisa aponta a profissão de Lenhador como a pior. Na onda do politicamente correto, dificilmente derrubar árvores será bem visto por alguém. De qualquer forma, o ponto alto da reportagem é a ilustração que reproduzo aqui. Apesar de ser a melhor profissão o matemático ainda não perdeu seu estereótipo característico: Nerd, gravata borboleta, perdido em suas abstrações. 

Aos poucos a matemática vem ressurgindo como uma profissão interessante. Alicerce das ciências e do desenvolvimento tecnológico, a matemática é muitas vezes considerada prioridade por dirigentes com política educacional consistente. Aumentar o interesse das crianças por matemática parece ter relação com o futuro desenvolvimento do país. Enfim, cedo ou tarde o estereótipo ao lado irá mudar, em pouco tempo você verá uma comédia americana focada no público adolescente onde o quarterback do time da escola, além de conquistar a chefe de torcida, é também bom em matemática. http://blog.estadao.com.br/blog/link/?title=o_poder_de_atracao_dos_nerds&more=1&c=1&tb=1&pb=1 

De São Paulo para a Nova Zelândia

Partindo de São Paulo de avião, qual é a capital brasileira que devemos sobrevoar se desejarmos ir para Wellington, capital da Nova Zelândia e cidade onde estou morando, em linha reta no menor caminho possível?

Pense um pouco no assunto sem continuar a leitura e procure tentar visualizar o globo terrestre, o Brasil, a Nova Zelândia, e o caminho entre estas duas cidades. Se não souber onde ficam esses lugares, pare tudo o que está fazendo e pesquise, afinal não custa nada.

Curiosamente, o caminho mais curto, que calculei com a ajuda do Google Maps, passa exatamente em cima de outra capital brasileira que desafio o leitor a descobrir.

Este caminho mais curto não é uma reta, mas uma curva que acompanha a superfície da Terra, tipicamente chamada de Geodésica. Na realidade, no mundo real, dificilmente uma reta, no sentido euclidiano, será o caminho mais curto para quaisquer dois pontos. Até mesmo o caminho para objetos bastante próximos são, na realidade, curvas.

Assim, a geometria euclidiana (aquela que aprendemos na escola), é um domínio puramente abstrato e platônico e dificilmente encontra reflexo no nosso mundo. Por outro lado, ela é uma excelente aproximação para grande parte de nosso contato cotidiano com a geometria.

Voltando a pergunta proposta, qual é a capital brasileira que está exatamente no caminho mais curto entre São Paulo - Wellington. A resposta é Porto Alegre e o leitor pode acompanhar o caminho no mapa que coloquei abaixo. Se quiser chegar até Wellington pegue o mouse e vá arrastando. Por incrível que parece essa curva traçada em vermelho é o caminho mais curto entre essas duas cidades.

Protocolo Isento de Inveja

Realizar partilhas entre irmãos é sempre problemático para os pais. Invariavelmente os envolvidos irão reclamar que os outros receberam uma parcela maior do bolo do que eles próprios. No final, sempre alguém sente inveja de alguém.

Por outro lado, pais experientes sabem que quando têm apenas dois filhos, é sempre possível definir um conjunto de regras que garanta uma escolha justa. É o famoso "eu corto, você escolhe". Um dos filhos corta o bolo, enquanto o outro escolhe o primeiro pedaço.

Observe que nenhum pode sentir inveja do outro (pelo menos idealmente). O filho que cortou o bolo tem certeza de que dividiu o bolo pela metade, enquanto o outro também não pode sentir inveja pois escolheu o primeiro pedaço.

Este procedimento tem até nome científico, é o Protocolo Isento de Inveja. Se seguirmos um protocolo isento de inveja podemos garantir que cada participante da partilha receba ao menos 50 por cento (para 2 participantes) do bolo em sua própria media. Em outras palavras o protocolo isento de inveja garante que todos os envolvidos pensem que escolheram um dos maiores pedaços.

Até aqui, nenhuma novidade, todos conhecemos este procedimento ancestral. A novidade ocorre quando tentamos resolver o problema para famílias com quantidades de crianças diferente de dois. A pergunta afinal é, existe um protocolo isento de inveja para n irmãos.

Protocolo do filho único

Bom, matemáticos adoram uma observação óbvia, então defino aqui o protocolo do filho único, que também é isento de inveja. Podemos explicá-lo mais ou menos assim: "eu não corto, e escolho o bolo todo". Note que o procedimento garante que a criança não sinta inveja dela mesma, correto? Enfim, o protocolo do filho único é um protocolo isento de inveja para n=1 irmãos.

Protocolo isento de inveja para 3 irmãos.

Agora vem a novidade. Incrivelmente, existe um protocolo isento de inveja para 3 irmãos, e vou procurar descrevê-lo abaixo. Chamarei os irmãos de Paulo, Ricardo e Eduardo. Na realidade escolhi os nomes de meus irmãos reais na esperança de cativá-los para um experimento. Como todos eles trabalham pouco e ganham muito tenho certeza de que dispõem de um tempo para a ciência:

1. Paulo corta o bolo em 3 pedaços que considera iguais.
2. Ricardo observa os pedaços e apara o que considerar maior, deixando o naco à parte.
3. Eduardo então escolhe um dos 3 pedaços principais, seguido de Ricardo e Paulo. Há um porém, se Eduardo não escolheu o pedaço que foi cortado (não o naco, o pedaço cortado), Ricardo deverá escolhê-lo. Quem pegou o pedaço cortado será chamado de X e o outro será chamado de Y. Note que X e Y serão Ricardo ou Eduardo dependendo desta escolha.
   
4. Agora vamos ao naco. Y corta o naco em 3 pedaços que considera iguais.
5. X escolhe o primeiro pedaço do naco, depois Paulo, depois Y.

Pais cuidadosos deverão garantir que o procedimento acima é realmente livre de inveja. Para ajudá-los listo algumas observações.

• Paulo não pode sentir inveja de ninguém, afinal dividiu o bolo em três partes que considera iguais e ficará com certeza com uma delas. De quebra, ganhará um pedaço do naco.
• Ricardo não pode sentir inveja pois tem o direito de acertar a escolha que Eduardo fará aparando o pedaço que eventualmente considerar maior. Também terá o direito da primeira ou segunda escolha na divisão do naco.
  
• Eduardo também não pode sentir inveja pode será o primeiro a escolher um dos pedaços depois que Ricardo aparar um pedaço. Além disso, se escolher o pedaço não aparado definirá a forma que o naco é dividido. Se não escolher o pedaço aparado, será o primeiro a escolher um pedaço do naco.
  
  

Apesar de mais complicado, o procedimento é válido é garante uma partilha livre de inveja. Para famílias mais numerosas, com mais de três filhos é ainda possível definir um protocolo livre de inveja como podemos verificar pelo artigo de Steven J. Brams e Alan D.Taylor chamado An Envy-Free Cake Division Protolo (Uma divisão de bolo livre de inveja). Apesar do nome, o artigo é sério e de fato estabelece que sempre é possível definir o protocolo para qualquer número de participantes.

Protocolo do irmão mais velho.

Como primogênito, há muito tempo defini um protocolo ótimo e bastante aplicável para os interesses do filho mais velho quando o assunto é a divisão do bolo. O protocolo do irmão mais velho pode ser definido com a frase: "eu corto, eu mesmo escolho". Ao contrário do protocolo isento de inveja, o protocolo do irmão mais velho visa atender aos interesses do filho mais velho.

Muitos de vocês se enganam se acham que a estratégia ótima a seguir para o filho mais velho é pegar 100% do bolo para si mesmo e deixar 0% para os demais irmãos. Neste caso, os irmãos mais novos retaliariam com choro o que chamaria a atenção dois pais que interviriam e aplicariam um protocolo muito mais injusto na perspectiva do filho mais velho: "os pais escolhem e dão para cada filho o que acham justo".

A arte de perseverar e maximizar os ganhos seguindo o protocolo do irmão mais velho é pegar o maior pedaço possível sem que os irmãos chorem ou adotem quaisquer outras formas de represálias. Observe que os irmão mais novos, mesmo pegando uma parcela menor do que 1/n podem optar por não chorar e se contentar com este pedaço. Chorar até que os pais tomem uma atitude tem seu custo em estresse e investidas a posteriori de um irmão mais velho enfurecido.

Se puxar bem pela memória, o leitor irá lembrar alguma cena de desenho animado onde um personagem corta um bolo em uma pequena fatia na intenção de partilhá-lo com o outro personagem. Porém, inesperadamente, o mesmo personagem que cortou a fatia devora o bolo todo deixando a pequena fatia para outro personagem. Temos aqui a mais pura aplicação do protocolo do filho mais velho.

O Problema dos Piratas

Para terminar, gostaria de deixar para o leitor um desafio muito interessante, cuja resposta é a a busca de uma estratégia ótima seguindo uma espécie de do protocolo do irmão mais velho. Dizem que o desafio é, ou foi utilizado no recrutamento de empresas como Microsoft ou Google (Como mover o Monte Fuji de William Poundstone). O problema é assim.

Cinco piratas pilharam um pote com 100 moedas de ouro. Para dividir as moedas entre eles, definiram o seguinte protocolo.

1. O pirata mais velho propõem uma partilha.
2. Todos votam, inclusive o mais velho. Se a partilha for aprovada pela metade ou mais, realiza-se a partilha como proposto, caso contrário, mata-se o pirata mais velho, e a palavra é passada para o segundo pirata mais velho reiniciando o processo.
   

A pergunta é: Você é o pirata mais velho, que partilha você propõem de maneira a maximizar o seu ganho?

Grau de Investimento

Hoje o Brasil ganhou o famigerado "grau de investimento". A agência de classificação de risco Standard & Poor's elevou a nota do país para BBB- sinalizando que o Brasil é hoje um país capaz de saldar seus compromissos financeiros. A bolsa subiu instatâneamente, o dolar caiu, e o país dá mais um passo em direção a estabilidade econômica.

Muitos brasileiros irão, pela primeira vez, colocar parte de seu rico dinheirinho na bolsa, pressionados pela histeria da mídia, amigos, parentes, e histórias de sucesso por todos os lados. Enfim, é um bom momento para lembrar que nossa vergonhosa imperícia para lidar com porcentagens pode ser bastante perigosa.

Suponha que você comprou algumas ações hoje, sua estréia na bolsa. No primeiro mês, o valor da ação aumentou 5%, no segundo mês, o valor caiu 5%. Bom, pensará você, não perdi nem ganhei nada, afinal tudo o que subiu mês passado, caiu neste mês. Certo?

Errado, você perdeu dinheiro, supondo que o valor inicial foi R$ 100,00, no primeiro mês você tinha R$ 105,00. Porém no final do segundo mês suas ações valiam 105x0,95 = R$ 99,75

Agora, suponha o inverso, que inicialmente sua ação caiu 5%, porém no outro mês ela subiu, os mesmos 5%. Agora ganhei dinheiro afinal, pensará você.

Errado de novo, você perde novamente! No final do primeiro mês você terá $95,00, e no final do segundo o valor será 95x1,05 = R$ 99,75

De qualquer modo, sempre que suas ações oscilarem de maneira que a porcentagem de aumento seja igual a de queda, você perde dinheiro. Aplicando por um ano, se as ações subirem 5% em 6 meses, e cairem 5% nos outros 6 meses, você perderá dinheiro, independente da ordem em que os aumentos ou quedas ocorram.

Agradecimentos

Recebi o curioso exemplo acima de um colaborador homônimo. A primeira vista é algo estranho, afinal meu nome não é lá muito comum. Quantos Alexandre Eisenmann você conhece? Porém, uma análise mais detalhada mostrou que tal colaborador é meu parente, irmão mais novo de meu pai, portanto meu tio. Bom, pelo menos minha família está lendo o blog!! Oi tio!

Show do Milhão

Você foi convidado para participar do Show do Milhão! É, parece que a sorte bateu na sua porta, você que sempre foi considerado super inteligente por colegas, amigos e a família. Agora é a sua chance, afinal, você não é como aqueles outros convidados do programa que escorregaram logo nas primeiras perguntas. Enfim, será um grande dia e você finalmente resolverá sua situação financeira, se não ganhar o milhão, você ficará feliz com 100 ou 200 mil.

No dia da gravação do programa, você já não estava tão confiante. Muita coisa estava acontecendo ao mesmo tempo, a ansiedade estava nas alturas e você não queria decepcionar seus amigos e familiares. Iria aparecer pela primeira vez num programa de TV, conhecer o Silvio Santos e tinha ainda que parecer confiante.

E o show começou, vieram as primeiras perguntas, e... graças a Deus... eram simples como você esperava. Você começou bem, acertou a primeira, a segunda, a terceira. Chamou os universitários na quarta, pediu ajuda da platéia em alguma outra, sacou a dica que o Silvio Santos lhe deu e acertou a penúltima. Nossa, você acertou todas, só falta a pergunta do milhão! Silvio perguntou se você queria parar por aí e pegar o dinheiro. Você, com a confiança recobrada desafiou. Não, quero o milhão.

A pergunta derradeira então foi feita.

Algo não caiu bem, a pergunta era surpreendentemente fácil, você sabia disso, porém, por algum motivo, você não tinha certeza da reposta. O coração acelerou, as mão ficaram geladas, agora não dava pra voltar atrás. Enfim, você foi em frente e escolheu sua alternativa... a ERRADA! Você perdeu! Vai ter que voltar pra casa com o prêmio de consolação que mal paga o tempo que você gastou.

Não desejo a história relatada acima para ninguém. Porém, suponha que isso realmente ocorreu com você, ou pior, que ainda vai ocorrer. Gostaria de saber, caro leitor, qual é a pergunta que você preferiria ter errado entre as 3 que apresentarei abaixo:

1. Qual é a capital da Colômbia ?
a) La Paz
b) Buenos Aires
c) Bogotá
d) Quito
e) Caracas

2. A girafa é um:
a) réptil
b) crustáceo
c) molusco
d) mamífero
e) anfíbio

3. Quantas casas decimais tem o número PI
a) 0
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinito


Não fiz uma pesquisa formal e realmente gostaria de saber a opinião do leitor. Porém, numa coleta ocasional de opiniões pude constatar o que temia. A grande maioria prefere errar a questão 3, que envolve algum conhecimento de matemática. As pessoas em geral pensam que não saber matemática é romântico, é cool, é chique. Quase escuto o pensamento delas: "Eu gosto da vida, das pessoas, das relações humanas, gosta da natureza e das belezas da vida, tenho ojeriza a matemática e aos números, eles não tem vida, não tem emoções, são chatos e enfadonhos. Não é pra mim."

Quantos de nós já ouviu algo do tipo: "ai, nunca fui bom em matemática", "nossa, eu não sei fazer essa conta, odeio matemática". De fato, as pessoas tem quase orgulho de dizer esse tipo de coisa. Pior do que perder o milhão é passar vergonha na frente do Brasil inteiro, ou principalmente dos amigos. Então melhor não saber matemática do que falar que a capital da Colômbia é Buenos Aires, ou afirmar que a girafa é um réptil. Alguns argumentarão que a questão sobre o PI é muito mais difícil que as outras, portanto é melhor errar essa. Eu pergunto, é mais difícil mesmo?

Há alguns anos estava ministrando um curso sobre uma linguagem de programação para estudantes de ciência da computação. Um dos exercícios consistia em realizar um aumento de 20% para todas as pessoas que constavam no banco de dados. Até aí, nenhum problema. O passo seguinte do exercício consistia em voltar atrás, supondo que o aumento foi indevido, retornar os valores ao ponto que estavam. Surpreendentemente, nenhum dos 8 alunos conseguiu resolver o problema. Os 3 que tentaram cometeram o mesmo erro: eles aplicaram 80% ao valor obtido no primeiro exercício.

Salário Inicial: $ 100,00
Salário com aumento de 20% : $ 120,00
Tentativa de voltar ao salário inicial considerando 80% de $ 120,00: $96,00

$ 100,00 é diferente de $ 96,00

Não fiquei muito incomodado com o erro em si, fiquei incomodado com a indiferença ou talvez com a falta de vergonha, não ouvi nem um: "ah... é mesmo.". Os alunos continuaram impassíveis como se aquele erro não fosse assunto do curso.

E quanto ao PI

O número PI possui infinitas casas decimais. Ele é impressionante em muitos sentidos, e há livros inteiros escritos sobre ele. O PI é definido como a razão entre o comprimento da circunferência de um círculo e o seu diâmetro, para QUALQUER círculo.

Quando perguntei para um grande número de pessoas, quantas casas decimais tinha o número PI, obtive um número alarmante de repostas 2. Provavelmente as pessoas se lembravam que o PI é igual a 3,14 e não

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097
4944592307816406286208998628034825342117067982148086513282
3066470938446095505822317253594081284811174502841027019385
2110555964462294895493038196442881097566593344612847564823
3786783165271201909145648566923460348610454326648213393607
2602491412737245870066063155881748815209209628292540917153
6436789259036001133053054882046652138414695194151160943305
7270365759591953092186117381932611793105118548074462379962
7495673518857527248912279381830119491...

Intervalo entre Números Primos

Minha mulher me pediu 5 números consecutivos que não fossem números primos.

Não acreditam? Ok, ela não pediu isso mesmo, é claro, fui eu quem a induzi a fazer esta pergunta. Em resposta apresentei a lista, que já havia calculado anteriormente: 24,25,26,27,28

Ela não se impressionou e ainda me olhou com uma cara esquisita do tipo: “Você está com algum problema?”. Não desanimei e lembrei-a que todos os números da minha lista não eram primos. Ela deu de ombros e continuou a fazer coisas menos nobres e importantes como, por exemplo, o meu jantar. (em minha defesa, eu faço o jantar às vezes, faço uma pizza maravilhosa, vem até com embalagem da pizzaria da esquina).

Desafiei-a a fazer o mesmo, e pedi para me fornecer 3 números consecutivos não primos. Ela, jubilosa, disse: 14,15,16.

Fiz contato!

Ela investiu novamente, exigindo uma lista de 10 números. Já treinado, disparei: 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123.

Antes que o leitor me julgue um idiot savant, acrescento que já havia calculado alguns valores adiantando os números que ela tipicamente iria escolher.

Era minha vez novamente. Pedi entusiasmado: "Quero uma lista com 14000 números." Ela respondeu : "O jantar está na mesa!". Pronto, fim da brincadeira.

Espaço Mobral: Um número primo é um número que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo sem deixar resto. Os primeiros números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...

Matemáticos dificilmente encontram apoio social para conversar sobre seus assuntos prediletos, de maneira que muitas vezes fragmentos de atenção de baixa qualidade como esse são suficientes para despertar nossa vontade de pesquisar um pouco mais profundamente.

Uma chance para a computação

Instintivamente não é óbvio que uma lista tão grande possa existir, afinal a lista de números primos é infinita e eles não parecem estar muito espaçados.

Enfim, a pergunta é: É possível encontrar uma lista de 14000 números consecutivos que não são primos?

Esta pergunta, que eu mesmo fiz (matemáticos muitas vezes falam sozinhos) me inspirou a utilizar artilharia mais pesada. Desenvolvi um programa para encontrar a tal mega lista, se é que ela existe. Para testá-lo, comecei com listas pequenas, pedi 10 números e o programa respondeu os mesmos 10 que eu havia dito para minha esposa. Bom sinal.

Pedi 20 números e obtive: 1130 , 1131, 1132,...

Pedi 100 números e obtive: 370262, 370263, 370264, ...

Guloso, pedi 14000 e ... esperei... Esperei tanto que desisti . O programa simplesmente não parou de rodar. Diante deste quadro, a única conclusão é que o programa procurou (e procurou muito) mas não encontrou a lista nos primeiros milhões, ou bilhões (quem sabe) de números. Ainda assim não é possível afirmar que tal lista não existe, apenas que o computador ou o programa são lentos demais. Frustrante!

Um belo teorema

Sempre acreditei que quando a computação falha devemos recorrer a matemática, e parece que isso se encaixa perfeitamente a esse caso. Existe um belíssimo teorema sobre o assunto. O teorema diz que: “É possível conseguir listas de números não primos de QUALQUER tamanho”. Que 14000 que nada! Eu quero agora uma lista de 1.000.000!

O teorema ilustra uma técnica para se construir o primeiro número da lista desejada. A receita é a seguinte:

Suponha que queremos uma lista com 5 números consecutivos não primos. Então devemos:

• Escolher um número inteiro maior do que 1, digamos n

• Obter o primeiro número da lista calculando n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + n

Por exemplo, considerando n = 2, teríamos 2 x 3 x 4 x 5 x 6 + 2 = 722. De fato a lista 722, 723, 724, 725, 726 só possui números não primos. Podemos escolher qualquer valor para n. No caso n = 3, a lista seria 2523, 2524, 2525, 2526, 2527, também uma lista válida.

Observe que a fórmula não diz nada sobre encontrar a lista cujos números são os menores possíveis, ela apenas garante que encontraremos alguma lista do tamanho desejado. Como vimos anteriormente, a lista 24, 25, 26, 27, 28 é uma lista com números menores.

Para construir listas maiores basta estender a formula com mais fatores. Por exemplo, a fórmula para encontrarmos uma lista com 7 números será n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6) + n.

Ora, mais por que isso funciona? Simples, observe que o número n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + n é divisível por n, portanto um número não primo (já que n é maior do que 1). O próximo número n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + (n+1) também não é primo pois é divisível por (n+1). Enfim, o raciocínio pode ser estendido para todos os números consecutivos até n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + (n+4) que obviamente é divisível por (n+4).

Enfim, existem infinitos números primos e, mesmo assim, sempre é possível encontrar qualquer intervalo de números sem que ao menos 1 primo apareça. Este intervalo pode ser tão grande quanto desejarmos. Sabemos então que uma lista de 14000 números consecutivos não primos existe, só não conseguimos calcular seus números devido ao tamanho imenso do mesmo. Mesmo uma lista de 117 números, que meu computador conseguiu calcular, começa no número 1.349.534.

O Problema da Rota Colorida

A cidade de Manaus possui cerca de 2 milhões de habitantes. Apesar de não ser tão grande como São Paulo ou Rio de Janeiro, localizar um endereço em Manaus é uma das tarefas mais frustrantes que o motorista será obrigado a enfrentar. Em geral as ruas não possuem nomes (apenas apelidos) ou quando possuem não há placas informando.

Quando tudo parece bem, a rua possui nome e placa, certamente a numeração das casas estará totalmente desordenada. Depois das casas, digamos, 35 e 44 podemos encontrar a casa 7 seguida da 35 (novamente) ou podemos encontrar as casas 1322 seguido das casas 511 e 688. Ímpares e pares compartilham o mesmo lado da rua sem o menor pudor.

Quando você compra um eletrodoméstico numa loja de departamentos, o funcionário, além de perguntar o endereço, exige uma referência. Na verdade, o campo referência é obrigatório no seu sistema e sem isso a compra quase não pode ser feita.

Dirigir na cidade de São Paulo não é muito melhor. É certo que as ruas possuem nomes e placas e a numeração é ordenada e coerente mas a malha viária é tão complexa que fica difícil para o motorista entender.

Realizar retornos, corrigir rotas erradas, memorizar um trajeto são todas tarefas difíceis para o não taxista. Para piorar, você nunca está sozinho, para qualquer lugar que você vá, você terá companhia, e muita. Como todos sabemos, o trânsito em São Paulo é realmente infernal!

Dependendo de como a malha viária de uma cidade for organizada e construída, a vida dos motoristas e pedestres pode ficar muito mais fácil. Quem conhece Manhatam, por exemplo, sabe como é fácil se localizar e encontrar um endereço. Lá, as próprias ruas são numeradas de maneira que, se estamos na quinta avenida e deserjarmos ir para a sétima sabemos de antemão que precisamos caminhar 2 quadras em determinado sentido.

A topologia da malha viária é também bastante simples, aproximando-se de um grande quadriculado com ruas no sentido norte-sul e outras no sentido leste-oeste. Fácil não?

Podemos fazer melhor? Será que é possível projetarmos uma cidade com um sistema de localização diferente, que facilite ainda mais a vida das pessoas? Que seja simples e fácil de se orientar?

Incrivelmente o matemático israelense Avharam Trakhman resolveu o Problema da Rota Colorida e esse fato nos dá certeza de que é sempre possível projetar uma cidade com endereço absoluto. Mas o que é endereço absoluto afinal? Bom, estou chamando de endereço absoluto um endereço que cumpre duas funções:

• O endereço por si só pode ser utilizado para se encontrar o local não sendo necessário recorrermos a guias ou ao GPS.

• A rota sugerida pelo endereço absoluto funciona se partirmos de qualquer ponto da cidade. Ressalto a palavra qualquer e acrescento: O endereço absoluto é independente do ponto de partida.

Para exemplificar a idéia do endereço absoluto vou recorrer a um exemplo. Suponha uma mini-cidade com a malha viária representada na figura abaixo. As linhas azuis e vermelhas são as ruas, a direção permitida é representada pelas setas e os pequenos círculos são cruzamentos. O endereço do cruzamento amarelo é AVVAVVAVV enquanto o endereço do cruzamento verde é AAVAAVAAV.

Cada letra do endereço representa qual rua devemos seguir, a rua (A)zul ou a rua (V)ermelha. O incrível é que a rota AVVAVVAVV levar-nos-á ao cruzamento amarelo a partir de qualquer, isso mesmo, qualquer ponto do mapa. A rota AAVAAVAAV, analogamente, levará o motorista ao cruzamento verde independente do ponto de partida. Verifique!

Imagem retirada da wikipedia para explicação do Problema da Rota Colorida

Trakhman não estava de fato preocupado com urbanismo ou melhoria do sistema de orientação das cidades. O "Problema da Rota Colorida" está relacionado a teoria dos Grafos, entidades matemáticas abstratas representadas por desenhos como a figura acima. Também não é qualquer grafo (neste contexto troque por malha viária, se quiser) que tem essa propriedade, mas sempre será possível produzir um grafo com "endereço absoluto" se seguirmos as hipóteses descritas no teorema de Trakhman. Transformadas para a linguagem da malha viária as hipóteses são:

• Escolhidos dois cruzamentos quaisquer deverá ser sempre existir uma rota que parte de um cruzamento ao outro.
• Todos os cruzamentos deverão ter o mesmo número de opções de saída. Em nossa figura, esse número é igual a dois, observe que temos duas opções de saída, e somente duas, para cada um dos cruzamentos.

Se obedecermos as duas regras acima é possível projetarmos cidades com endereço absoluto de quaisquer dimensões.

O "Problema da Rota Colorida" estava sem solução desde que foi proposto por uma equipe de matemáticos dirigidas pelo professor Binyamin Weiss em 1970. A notícia da demonstração foi noticiada em todo o Brasil em 8 de fevereiro de 2008 e quem quiser pode consultar aqui.

Na realidade não sei se construir cidades com este conceito é economicamente viável ou se de fato é simples para as pessoas memorizar grandes sequências de letras. De qualquer maneira o conceito é sedutor e surpreendente. Antes da prova de Trakhman eu não fazia idéia, e acredito que o leitor também não, de que é possível construir mapas com endereço absoluto.