Yam!

Atendendo a pedidos finalmente desenvolvi e disponibilizei online o jogo Yam. Para jogar basta se cadastrar e jogar. É de graça! Clique aqui para Jogar!

A versão que implementei é aquela comercializada pela Grow que muitos de vocês deverão conhecer. O Yam da Grow utiliza cartelas, lápis e dados reais, além disso pode ser jogado em grupos de pessoas, cada uma preenchendo sua própria cartela. A versão que desenvolvi deve ser jogada individualmente na Web, porém, em contrapardida, estabeleci um sofisticado sistema de ranking para enriquecer a experiência de quem joga.

O Yam é um jogo de dados, cinco precisamente. Alguns consideram o Yam uma espécie de pôquer de dados, provavelmente motivados pelo fato de que no Yam o jogador poderá obter uma Quadra, Um Full-House ou Seguidas, resultados idênticos aos do pôquer. Porém, o Yam não envolve apostas, nem são comparados jogos entre os jogadores. Para jogar bem o Yam e conseguir um boa pontuação é necessário sorte, raciocínio lógico e uma boa dose de estratégia. Jogadores iniciantes dificilmente conseguirão bons scores mesmo com um bom grau de sorte.

Objetivo

O objetivo do Yam é preencher todas as células da tabela e obter o maior número possível de pontos.

Jogada

Uma jogada equivale ao resultado obtido após 3 ou menos lançamentos dos dados seguido do preenchimento de uma célula na tabela. No primeiro lançamento o jogador irá lançar necessariamente os 5 dados. Se o resultado agradar, ele para por aí, preenche uma célula da tabela e a jogada está concluída. Se quiser melhorar o resultado ele separa os dados que não quer mexer (clicando neles) e lança os demais. Novamente, se após o segundo lançamento o resultado ainda não tiver do seu agrado, ele tem sua terceira e última chance.

Tipicamente o jogador irá jogar 3 vezes os dados antes de preencher uma célula, afinal não é fácil obter um bom resultado, tanto que uma jogada de apenas um lançamento recebe um nome e tratamento especial, dizemos que a jogada foi no SECO.

Tabela

A tabela é composta por quatro colunas, Descida, Subida, Desordem e Seco, cada coluna possui 13 células a ser preenchidas pelo jogador (em verde claro na tabela abaixo) e 3 células de totais que serão preenchidas automaticamente pelo jogo (verde escuro). As colunas se diferenciam pela forma como devem ser preenchidas, a coluna Descida deve ser preencida de cima para baixo, a coluna Subida, de baixo para cima. A coluna Desordem, como o próprio nome diz, pode ser preenchida em qualquer ordem.

Finalmente, a coluna Seco, só poderá ser preencida após o primeiro lançamento dos dados, ou seja, o jogador deverá ter obtido o resultado desejado no primeiro lançamento. Se o jogador lançar os dados uma segunda vez, a coluna inteira será desabilitada.

Jogos

Em cada linha da tabela um certo tipo de jogo deverá ser obtido pelo jogador. Se for bem sucedido, o jogador irá ganhar o bônus correspondente ao jogo em questão. Por exemplo, se o jogador obter uma Quadra (quatro dados iguais) na linha Q, deverá marcar a soma dos pontos da quadra mais um bônus de 20 pontos. Isso vale para qualquer uma das quatro colunas. Abaixo, a lista de todos os jogos previstos no Yam:

1	Um	Obter a maior quantidade possível de números 1	Somar os pontos dos dados com número 1
2	Dois	Obter a maior quantidade possível de números 2	Somar os pontos dos dados com número 2
3	Três	Obter a maior quantidade possível de números 3	Somar os pontos dos dados com número 3
4	Quatro	Obter a maior quantidade possível de números 4	Somar os pontos dos dados com número 4
5	Cinco	Obter a maior quantidade possível de números 5	Somar os pontos dos dados com número 5
6	Seis	Obter a maior quantidade possível de números 6	Somar os pontos dos dados com número 6
T	SubTotal		Somar os pontos anteriores. Se o valor for maior ou igual a 60, acrescentar um bônus de 30 pontos.
Q	Quadra	Obter 4 dados iguais	Se obtido, somar os pontos dos dados iguais e acrescentar um bônus de 20 pontos, caso contrário marcar 0
F	Full	Obter uma trinca e uma dupla	Se obtido, somar os pontos de todos os dados e acrescentar um bônus de 30 pontos, caso contrário marcar 0
S-	Seguida Mínima	Obter 1, 2, 3, 4, 5	Se obtido, somar os pontos de todos os dados e acrescentar um bônus de 35 pontos, caso contrário marcar 0
S+	Seguida Máxima	Obter 2, 3, 4, 5, 6	Se obtido, somar os pontos de todos os dados e acrescentar um bônus de 40 pontos, caso contrário marcar 0
-	Mínimo	Somar os pontos dos dados. O resultado deve ser menor do que a célula abaixo (Mínimo).	Somar os pontos de todos os dados. Considerar 0 se o valor for maior do que a coluna abaixo
+	Máximo	Somar os pontos dos dados. O resultado deve ser maior do que a célula acima (Mínimo).	Somar os pontos de todos os dados. Considerar 0 se o valor for menor do que a coluna acima
Y	Yam	Obter 5 dados iguais	Se obtido, somar os pontos de todos os dados e acrescentar um bônus de 50 pontos, caso contrário marcar 0
T	Total		Somar as linhas Q,F,S-S+,-,+,Y
TG	Total Geral		Somar SubTotal com Total

Ranking

Criei um sistema de ranking que privilegia o jogador regular, estrategista, insensível a golpes de sorte. Existe o ranking do dia, o ranking da semana, os melhores resultados e o ranking geral. Para calcular o ranking geral devemos considerar o seguinte critério de pontos:

1º colocado na semana: 8 pontos
2º colocado na semana: 5 pontos
3º colocado na semana: 3 pontos
1º colocado no dia: 1 ponto

Dependendo do número de semanas que você foi primeiro, segundo ou terceiro colocado terá seu score geral acrescido de 8, 5 ou 3 pontos respectivamente. Se você campeão de apenas 1 dia ganhará 1 ponto. Para os propósitos do jogo o primeiro dia da semana é domingo, portanto no próximo domingo o ranking da semana estará vazio, aproveitem! O ranking de melhores resultados não é utilizado para o ranking geral. Esta decisão foi tomada na intenção de diminuir o componente sorte do ranking geral.

O que é um bom resultado?

Adianto que um resultado superior a 1000 já é considerado bom. Se você conseguir mais do que 1100 já pode pensar em ser campeão do dia. Se conseguir mais do que 1200 tem muita chance de ser o campeão da semana. Se ultrapassar os 1300, bom já estamos lidando com profissionais. Só vi um resultado maior do que 1400 e me pergunto porque o fulano não jogou na megasena. Mais que 1500? Nunca vi!

The Eisenmann Number Project

O matemático húngaro Paul Erdős (1913 - 1996) foi um dos mais produtivos matemáticos de todos os tempos. Como todo bom gênio matemático, possui uma lista infindável de excentricidades: acredita-se que era assexuado e é provável que não tenha tido qualquer contato sexual em toda sua vida; chamava as crianças de épsilons (letra grega tipicamente utilizada para representar quantidades infinitamente pequenas); tomava anfetaminas para manter sua produtividade matemática em alto índice; não dava absoluta atenção a dinheiro e livrava-se dele oferecendo recompensas a seus alunos para motivá-los a resolver algum problema matemático.

Erdős envolveu-se em muitas áreas da matemática, porém suas maiores contribuições concentravam em análise combinatória, teoria dos grafos e teoria dos números. Gostava de resolver os problemas de forma simples e elegante, valorizando a estética da solução. Ao contrário do que o perfil do tipo gênio distraído possa sugerir, Erdős foi um matemático excepcionalmente colaborativo, raramente publicava sozinho, tornando a matemática de fato uma atividade social.

Em homenagem a Paul Erdős a comunidade matemática inventou um pitoresco conceito que ajuda a mostrar quão colaborativo ele foi, é o chamado Número de Erdős. Em linhas gerais a coisa funciona assim: Uma pessoa possui o número de Erdős igual a 1 se colaborou com o próprio Paul Erdős em um artigo matemático. Se alguém colaborou com alguém que colaborou com Paul Erdős (e não colaborou com o próprio, é claro) ganha número de Erdős igual a 2. A única pessoa que possui número de Erdős igual a zero é o próprio Paul Erdős. Os detalhes podem ser verificados na página  Erdos Number Project.

Mesmo depois da morte de Erdős em 1996 a rede dos números de Erdős não para de crescer, porém, como o leitor mais astuto irá perceber, é impossível que surja um novo nome entre aqueles que possuem número de Erdős 1, portanto esta lista de 511 não aumentará jamais. No momento em que todos essas 511 pessoas falecerem não haverá chance da lista de 8162 nomes dos que possuem número de Erdős 2 aumentar. O grafo formado pelos números de Erdős é muito estudado pela comunidade matemática e hoje em dia conta com uma enorme quantidade de vértices e arestas.

A idéia dos números de Erdős alçou vôo e atingou novas cearas, algumas tão improváveis quanto Holywood. Três estudantes da Albright College inventaram o jogo Six Degree of Kevin Bacon e a idéia é calcular a distância de um ator ou atriz qualquer até o ator Kevin Bacon, sim aquele mesmo de Footlose, alguém lembra? Funciona assim: qualquer ator que tenha participado de um filme que Bacon também tenha participado recebe o número 1. Se um ator nunca foi colega de Bacon em nenhum filme, mas foi um colega de alguém que foi colega de Bacon, recebe o número 2 e assim por diante. Esses números foram batizados com Números de Bacon. Assim como um número de Bacon mede a distância de um ator até Kevin Bacon, um número de Erdős mede a distância de um matemático até Paul Erdős.

Na onda desses números algumas pessoas, entre elas Simon Singh (autor de O Último Teorema de Fermat, O Livro do Código e Big Bang), ajudaram a popularizar a idéia dos Números de Erdős-Bacon. Um número Erdős-Bacon de uma pessoa é definido como a soma de seu número de Erdős com seu número de Bacon. Esses novos números não teriam tanta graça se não houvesse pessoas que possuam os dois números, o que parece ser o caso num primeiro momento. Porém, surpreendentemente Carl Sagan, Stephen Hawking e Richard Feynmann, só para citar os mais famosos, figuram nesta lista. Mais surpreendentemente ainda é o fato de que há sim no mínimo uma mulher bonita, a atriz Danica McKellar, incluida na lista. Ela possui número de Erdős 4, número de Bacon 2 e, naturalmente número de Erdős-Bacon igual a 6.

Os jogadores de Go também tem seu número, é o número de Shusaku que mede a distância de um jogador até o mestre do Go, Honinbo Shusaku. Os critérios para calcular o número de Shusaku são parecidos aos que já vimos para os outros dois números e o leitor poderá ver na página da wikipedia referente ao Número de Shusaku.

Os números de Eisenmann

Ao contrário de Paul Erdős que não dá atenção ao dinheiro, de Kevin Bacon que já tem muito dinheiro (pelo menos eu acho), e de Honinbo Shusaku que joga Go como ninguém, eu, é, eu mesmo, dou sim atenção ao dinheiro, não tenho muito, e não consigo ganhar de ninguém no Go. Para piorar minha situação estou morando em Manaus, a milhares de quilômetros de São Paulo, minha cidade natal, longe de familiares e amigos.

Porém, não vou ficar me lamentando e para dar um fim nesses "problemas" vou seguir a comunidade matemática e inventar meu próprio número, o número de Eisenmann. Para calcular seu número de Eisenmann observe as regras abaixo:

• Alexandre L K Eisenmann possui número de Eisenmann 0.
  
• Aqueles que presentearam Alexandre com uma cédula monetária válida brasileira possuem número de Eisenmann 1
  
• Aqueles que presentaram alguém com número de Eisenmann N, possuem número de Eisenmann N+1

Como vocês viram, a regra é muito simples, e tem tudo para virar o último grito da moda. Para incentivar o encontro das pessoas defino aqui uma cláusula importante: É necessário que as notas sejam entregues pessoalmente, não vale depósito em conta ou qualquer outro tipo de trâmite. Sim, quem quiser ganhar o número de Eisenmann 1 terá que vir a Manaus e entregar pessoalmente sua nota, ou esperar que eu vá até São Paulo ou qualquer outro lugar para me encontrar. Por outro lado, vocês não precisam dar a nota pra mim. Para participar basta entregar sua nota para qualquer outra pessoa que possua número de Eisenmann, em troca você ganha um número de Eisenmann e seu nome aparecerá neste Blog com direito a um link direto a sua própria página.

Ainda não criei uma infraestrutura tecnológica com a estatura que os números de Eisenmann merecem, porém prometo fazê-lo assim que a idéia ganhar corpo. Por hora estabeleci critérios muito simples para garantir o bom funcionamento do processo. Qualquer um que quiser obter um número de Eisenmann deverá seguir os passos abaixo:

1. Confira na lista oficial e encontre alguém, digamos o João, que possui um número de Eisenmann, digamos N.
   
2. Escolha uma cédula (recomendo uma nota de 1 real), ANOTE seu número de série e dê para o João.
   
3. Mande um email para a conta do projeto The Eisenmann Number Project com o seguinte texto: "Olá, meu nome é <nome completo> e entreguei a nota D6704067147C para alguém que possui número de Eisenmann na cidade de <nome da cidade>. Por favor inclua este link ao lado de meu nome aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa.com.br". Note que será possível acompanhar a trajetória de uma nota, outro projeto bastante interessante.
   
   
4. João, por sua vez, ao receber a cédula DEVERÁ NECESSARIAMENTE enviar um email para a conta do projeto The Eisenmann Number Project com o texto: "Recebi a nota D6704067147C, por favor, atualize as informações necessárias".
   
5. De posse destas informações o The Eisenmann Number Project incluirá seu nome no grafo e na lista.
   

Essa coleção de regras presume algo que considero importante. Deverá haver algum grau de amizade ou confiança na transação pois quem dá o dinheiro quer ter certeza de que o outro atualizará as informações. Acredito que esta rede social crescerá lenta, porém constante a medida que as pessoas simpatizarem com a idéia. Como ninguém deu ainda uma nota pra mim a lista das pessoas com número de Eisenmann só possui um nome, o meu próprio. Confira:

D	Nome/link/Cidade/Data/Cédula/Ligação	Número de Eisenmann	Índice de Becker
1	Alexandre Luís Kundrát Eisenmann http://www.humanomatica.blogspot.com	0	∞
2	Fabiana Cardeal de Godoy Eisenmann Manaus 28/11/2007 B0659072987A Entregou nota para o ID=1	1	2,000000
3	Hamilton Jacques Cardeal de Godoy http://hamiltongodoy.blogspot.com/ Manaus 28/11/2007 B0661005084A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000
4	Cassiano Otavio Becker Manaus 29/11/2007 B0336008742A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000
5	Rafael Ferreira Barcelos http://www.linkedin.com/in/rbarcelos Manaus 03/12/2007 B0662061838A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000
6	Paulo Sérgio Werneck Coelho Filho Manaus 06/12/2007 A9407078925A Entregou nota para o ID=2	2	0,000000
7	Maria Suely Ramos dos Santos Manaus 08/12/2007 B0416018283A Entregou nota para o ID=2	2	0,000000
8	Andrea Lauriello Eisenmann Bento Manaus 11/02/2008 B2459011171A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000
9	Regina Kundrát Eisenmann Manaus 15/02/2008 A9690083133A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000
10	José Henrique Nogueira Eisenmann Manaus 15/02/2008 B2388085850A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000
11	Ricardo Kundrát Eisenmann http://www.orkut.com/ Profile.aspx? uid=4398866855055886232 São Paulo 06/03/2008 A1504016200A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000

A cada novo nome a lista será atualizada. Não apresentarei endereço de email porém manterei nos cadastros o número de cédula utilizada e as informações enviadas. No futuro será possível acompanhar a trajetória de uma nota individual nas suas relações com a rede dos números de Eisenmann.


Índice de Becker

O índice de Becker foi projetado e proposto por Cassiano Otavio Becker, ele próprio um número de Eisenmann 1. Para calcular o índice de Becker devemos dividir o número de pessoas que você agregou para a rede pelo seu número de Eisenmann. Por exemplo, suponha alguém que possui número de Eisenmann igual a 2 e que recebeu cédulas de 7 outras pessoas. Essa pessoa possui índice de Becker igual a 3,500000.

Formalmente, considere a rede dos números de Eisenmann um grafo. Cada vértice do grafo é uma pessoa com número de Eisenmann, cada aresta liga uma pessoa àquela que recebeu sua cédula. O índice de  Becker de um vértice (de uma pessoa) é calculado dividindo-se seu grau menos 1 (grau do vértice é um conceito formal relacionado a grafos) por seu número de Eisenmann. A idéia é incentivar as pessoas a contribuirem com o crescimento da própria rede dos números de Eisenmann.


FAQ

Porque eu entraria neste projeto?
Além de contribuir para a matemática e a ciência, você poderá ganhar dinheiro, afinal outros poderão lhe lar cédulas de presente. Além disso se a moda pega, seu nome constará da lista. Lembre-se que a moda hoje é ser meio nerd (Bill Gates, Steve Jobs, Richard Dawkins, Danica McKellar, etc...) e não há melhor forma de provar sua nerdabilidade do que este tipo de projeto. Ser nerd é cool! não se esqueça disso. Se não acredita leia este artigo da revista Superinteressante.

O projeto é uma espécie de pirâmide onde eu perderei dinheiro e alguém ganhará?
É claro que não, as regras estão claras. Note que mesmo que o projeto seja um sucesso posso ganhar apenas R$ 1,00. Pensando de uma maneira mercantilista, o projeto também é viável, afinal você pode ceder uma nota para entrar no projeto e receber várias de outros que estão ingressando, porém, e isso é importante, o dinheiro que você recebeu não "flui" para nenhuma outra pessoa, ele fica com você.

O que devo fazer com o dinheiro que ganhar?
Faça o que quiser. No meu caso porém, estou pensando em fazer algo socialmente responsável, para usar um termo da moda.

Se já possuo um número de Eisenmann, digamos 20, e entregar uma nota para alguém de número 3, o que acontece?
Seu número de Eisenmann é atualizado para 4 e todas as pessoas das quais você recebeu cédulas terão seus números de Eisenmann atualizados, recursivamente.

Se já possuo um número de Eisenmann, digamos 3, e entregar uma nota para alguém de número 20, o que acontece?
Nada.

Que tipo de cédula devo utilizar?
Sugiro utilizar notas de 1 real, afinal sai mais barato, porém o projeto aceita qualquer tipo de nota que tenha um número de série válido.

Como devo referenciar o projeto em trabalhos acadêmicos?
Por hora, basta citar nosso nome "The Eisenmann Number Project", no momento que tiver um endereço específico com mais informações atualizo o blog.

Por que utilizar um nome em inglês para o projeto, afinal você é brasileiro?
Pensei muito sobre isso e realmente queria colocar o nome em português, mas ao final escolhi o inglês por uma questão de similaridade com os outros projetos do gênero, The Erdős Number Project ou The Bacon Number Project.

O que fazer se a pessoa que recebeu meu dinheiro não mandar o email?
Ligue para ela e insista, caso contrário, seu nome não aparecerá na lista e você perdeu seu dinheiro.

Por que não gasta seu tempo calculando os números de Piovani, pontuando aqueles que namoraram a atriz num formato parecido ao proposto?
Bom... a idéia é boa mas fiquei relutante em expor a vida de outras pessoas neste espaço. Além disso não é tão nerd, e, como vocês sabem, ser nerd é Chique!

O Mestre Azulejista

Marcílio Santos é um mestre azulejista. Domina a arte de ladrilhar uma superfície como ninguém. Marcílio possui uma pequena oficina em sua residência onde ele também produz azulejos de diversas padronagens e tamanhos. Marcílio é capaz de desenvolver uma padronagem tão complexa que torna a vida dos aprendizes bastante difícil, é como um quebra-cabeça.

Marcílio levou uma infância difícil, sétimo filho de oito crianças. Seu pai, Edinaldo, fora pedreiro toda a vida e foi dele que Marcílio recebeu a motivação que modelaria seu destino. Edinaldo dizia que a profissão de pedreiro não era valorizada e que, se ele queria ser alguém, deveria ser azulejista como seu amigo Sebastião, esse sim, bem de vida.

Marcílio estudou até a quarta série, aprendeu a ler e também as quatro operações. Edinaldo preocupou-se com o futuro do filho, então, tão logo quanto pode, tirou Marcílio da escola para que pudesse trabalhar na construção civil, essa sim uma atividade útil e importante.

Sebastião se encarregou do treinamento de Marcílio e logo se espantou com a habilidade do rapaz. Marcílio era um excelente desenhista e um cortador meticuloso, cuidadoso e concentrado. Marcílio nunca desperdiçava material além de fazer um trabalho extremamente limpo na montagem, com poucas sobras e sem sujeira. Em pouco tempo, o menino superou o mestre e aos 16 anos já era conhecido como melhor azulejista da região.

Conforme aperfeiçoava-se em seu ofício, Marcílio desenvolvia uma obsessão. Ao contrário dos azulejistas comuns que ladrilhavam uma parede com as peças que seu cliente comprava, Marcílio acreditava que os azulejos deveriam ser especialmente projetados para determinada parede. Assim, ele primeiro visitava seu cliente, media a parede, planejava o trabalho, emitia um orçamento e, quando aprovado, produzia os azulejos.

O grande momento para Marcílio era a montagem final, onde ele ia pessoalmente encaixar todos os azulejos recentemente produzidos. Era neste momento que ele via o resultado de todos os seus esforços. Nunca era necessário quebrar uma peça. Marcílio calculava a dimensão de seus azulejos de maneira a nunca precisar recortar ou incluir qualquer azulejo cortado na parede.

Essa era a sua obsessão, sua motivação e seu motivo de orgulho. Apesar da pouca instrução, ele era capaz de calcular a dimensão exata que as peças precisavam ter para encaixar corretamente na superfície disponível. Numa parede de 8,346 m X 3,852 m, por exemplo, era necessário utilizar azulejos de lado igual a 10,7 cm para possibilitar um perfeito encaixe sem que nenhuma peça precisasse ser cortada.

Às vezes o resultado dos cálculo apontavam para medidas extremas para os azulejos, ou muito pequenas ou muito grandes. Quando as peças necessárias eram pequenas demais Marcílio insistia na mudança da dimensão da própria parede, o que normalmente não era possível. Porém, mesmo quando era obrigado a abrir uma concessão, o fato de que havia sim uma medida ideal o confortava, mesmo quando inaplicável na prática.

Um dia o mundo de Marcílio desmoronou. Enquanto gabava-se para um cliente de que sempre poderia calcular a dimensão ideal de um azulejo, independente do tamanho da parede, de forma a evitar qualquer tipo de corte nas peças e um encaixe final perfeito, ouviu a frase que mudaria seu humor daí para diante: "Não é verdade! dependendo da dimensão da parede pode ser impossível calcular um azulejo ideal!". De início, Marcílio adorou o comentário, pois deu a ele a oportunidade de explicar seu método.

O cliente não cedeu, insistindo de que isso havia sido provado a mais de 4000 anos atrás e de que não valia a pena discutirem a questão. Segundo o cliente, estava relacionado com a prova da existência dos números irracionais, precisamente com a demonstração de que o lado do quadrado não é comensurável com sua diagonal.

O cliente, tentou traduzir para Marcílio da seguinte forma. Escolha uma medida qualquer e chame de medida 1, agora forme um quadrado com o lado igual a medida 1, pegue a diagonal deste quadrado e chame de medida 2. Finalmente, considere uma parede retangular com as dimensões iguais a media 1 x medida 2. Pronto, não é possível fabricar qualquer azulejo capaz de ladrilhar perfeitamente a parede.

De fato, um discípulo de Pitágoras fez esta demonstração, provando que a diagonal de um quadrado não é comensurável com seu lado, isto é, não há medida comum entre estas duas grandezas de forma que ambas sejam múltiplas desta medida. A partir daí foi provado a existência de números que não podem ser representados por frações, que modernamente chamamos de irracionais. Conta-se que este discípulo foi morto pela irmandade pitagórica, afinal ele quebrou a ilusão da escola de que todas as grandezas da natureza podiam ser representada por números inteiros ou frações.

Marcílio não entendeu o argumento, porém perdeu a alegria que seu ofício lhe dava, desconfiando sempre que alguém poderia solicitar um serviço impossível. De qualquer maneira, isso também era impossível, afinal Marcílio recebia ou media previamente as dimensões das paredes nas quais ia trabalhar. Porém, as medidas obtidas pelos instrumentos humanos sempre permitiam que o procedimento de Marcílio funcionasse. Para que houvesse uma falha a trena do Marcílio deveria ser capaz de medir números irracionais, com infinitas casas decimais não periódicas.

A história de Marcílio ilustra uma das principais passagens na história da matemática, a descoberta da incomensurabilidade e dos números irracionais. Se dispuséssemos de ferramentas de medidas infinitas, de fato haveria dimensões impossíveis de ladrilhar utilizando azulejos quadrados. É o caso por exemplo de uma parede de 1 metro por raiz de 2 metros. Em todo caso, Marcílio poderia ficar descansado, nenhum instrumento do mundo pode medir de fato um parede com comprimento de raiz de 2 metros, pelo menos, não com esta precisão absoluta.

Não tem urso polar na Antártida!

Nossa cultura premia os grandes resolvedores de problemas, porém não damos muita bola para seus criadores. Sob certo ponto de vista, propor problemas é tão ou mais importante quanto resolvê-los, alarga as fronteiras do que não sabemos e motiva nossas melhores mentes na busca de sua resolução.

Criar uma nova charada e compor um belo enunciado não é tarefa fácil. Deve ser simples o suficiente para captar a atenção das pessoas, difícil o suficiente para desafiá-las e informativo o suficiente para tornar a charada solúvel.

As charadas clássicas ilustram bem a natureza dos grandes problemas. São fáceis de enunciar e capazes de desafiar. Por outro lado nem sempre os enunciados são bons o suficiente para mostrar toda a profundidade do tema.

De certa maneira sou um colecionador de problemas e charadas. Quando sou desafiado tenho o péssimo hábito de ir até meu limite para tentar resolvê-lo. Se considero a charada boa o suficiente nunca a esqueço e repasso sempre que posso correndo o risco de ser chato e arrogante.

Entre toda a fauna de problemas que memorizei, há uma classe especial, ou melhor, uma espécie de segunda divisão. Eles tem grande potencial para ingressar na primeira divisão mas são imperfeitos. São charadas conhecidas, e muitos de vocês já foram expostos a elas, mas alguns detalhes em sua estrutura compromete a qualidade geral. No fundo acredito poder remendar estes casos e, enfim, permitir que todos vejam o que estava escondido.

Por hora, mostrarei um exemplo:

Uma pessoa anda 1 km na direção SUL, depois mais 1 km na direção LESTE e, finalmente, mais 1 km na direção NORTE. E aí verifica que acabou voltando exatamente para o ponto inicial de onde saiu. Nesse momento, essa pessoa vê um urso. Pergunta-se: de que cor era esse urso?

Para aqueles que não o conhecem vale a pena gastar algum tempo. Se esse for o seu caso pare de ler neste instante pois vou estragar o desafio.

Logo vocês perceberão que se estivermos no Polo norte e seguirmos os passos descrito chegaremos de fato no mesmo ponto que saímos. Bom, daí fica fácil, o urso deve ser branco afinal trata-se de um urso polar.

A resposta acima é correta, porém o problema é muito mais interessante do que parece e o enunciado não contribui para que isso seja percebido. Dá a impressão que só existe um ponto no globo com essa propriedade, o Polo norte, porém isso definitivamente não é verdade. No hemisfério sul EXISTEM INFINITOS pontos com a mesma propriedade, como mostrarei para vocês.

Antes, porém, deixem-me explicar porque considero a resposta correta. Todos estes pontos do hemisfério sul estão muitos próximos do Polo sul. Como lá não existem ursos, podemos ignorá-los para os propósitos do problema, afinal, o enunciado diz que encontramos um urso, portanto devemos estar necessariamente no Polo norte.

Voltando ao problema, afirmo que todos os pontos do globo que distam aproximadamente 1/2pi + 1 = 1,159 km do Polo sul tem a mesma propriedade do ponto que se localiza exatamente no Polo norte. Parece incrível não é? Afinal, o que estes pontos tem de especial quando comparados com todos os outros?

Partindo de qualquer um destes pontos, depois de caminharmos 1 quilometro para o sul, estaremos numa posição privilegiada. Esta posição permite darmos a volta na Terra andando apenas um quilometro para leste.

O leitor neste ponto deverá dar uma pausa para compreender o que foi dito. Para ajudar lembro que se estivermos no equador e quisermos dar uma volta completa na Terra devemos caminhar o equivalente a circunferência da Terra, porém quando maior nossa latitude menos devemos caminhar para completar uma volta culminando no Polo sul onde podemos caminhar zero milímetros para atingirmos este objetivo. Portanto, em algum ponto, entre a linha do equador e o Polo sul poderemos dar a volta na Terra caminhando exatamente 1 quilometro. Este ponto ideal será atingido depois de caminharmos 1 quilometro para o Sul a partir dos pontos que calculamos.

Ora, se voltamos ao mesmo lugar, e caminharmos novamente 1 km para o norte atingiremos o ponto de origem novamente.

Enfim, existem infinitos pontos no globo onde podemos efetuar as instruções propostas na charada e retornar ao mesmo lugar. Apenas 1 fica no hemisfério norte e todos os outros no hemisfério sul. Considero o enunciado desta charada imperfeito pois não dá nenhuma informação quanto aos pontos do hemisfério sul, pior, a charada pode ser resolvida corretamente mesmo que a pessoa não perceba a existência destes pontos.

Em outra ocasião apresentarei outros problemas da segunda divisão e quem sabe recebo algumas sugestões de como remendá-los.

Uma última palavra. Quando calculei a localização dos pontos do hemisfério sul, mencionei a palavra 'aproximadamente'. São dois os motivos: Um porque a Terra, como todos sabemos, não é exatamente esférica. O outro motivo se deve ao fato de eu ter ignorado a curvatura da Terra na parcela (1/2pi) para simplificar os cálculos.

Esqueci de algum ponto?

Escrevo este parágrafo semanas depois de ter postado o artigo e parece que há ainda mais pontos a serem considerados. Agradeço meus leitores que rapidamente perceberam a existência destes pontos remotos, localizados ainda mais ao sul. Para vê-los basta estender o raciocínio previamente utilizado.

Recapitulando, existe uma latitude onde podemos dar a volta na Terra caminhando apenas 1Km para o leste. Ora, então existe uma latitude, neste caso maior, onde podemos dar 2 voltas na Terra, 3 voltas na Terra, ou quantas voltas na Terra desejarmos. Enfim, há ainda uma infinidade de pontos a considerar além daqueles já descritos.

Uma proposta para o ensino de Combinatória

Combinatória é um assunto difícil, acho que todos concordamos com isso. Num curso típico sobre o assunto, logo na primeira ou segunda aula, conceitos sofisticados como combinação, arranjo, permutação são esparramados no quadro negro. Em breve virá a combinação com repetição e probabilidades e a coisa toda piora.

O aluno típico, frente a esta coleção de nomes e fórmulas procura desesperadamente respostas para suas angústias e invariavelmente ouvimos: "... mas neste exercícios, usamos combinação ou arranjo?"

Ensinar combinatória é igualmente frustrante, uma vez que não há uma sistemática a seguir e muitas vezes os professores são obrigados a tentar expressar sua própria intuição em palavras. Além disso a dificuldade de ensinar assunto tão simples agrava a sensação de frustração.

Princípio da Equiparação

Inspirado na forma como nossos antepassados realizavam contagem sem a utilização de números, vou propor uma nova abordagem para resolvermos exercícios de combinatória. Não é claro que ajudará todos os professores ou alunos mas é uma forma diferente que pode, acredito, ser bastante útil.

O grande segredo de nossos antepassados para contar, por exemplo, ovelhas de um rebanho é o chamado princípio da equiparação. Para cada ovelha do rebanho fazemos um talho num pedaço de pau. Assim, a quantidade de talhos na madeira é equivalente a quantidade de ovelhas. Se, no dia seguinte, houverem mais talhos do que ovelha é provável que algumas tenham sido roubadas ou mortas.

Se ao invés de talhos na madeira, utilizássemos pedras em um saco, não faria diferença nenhuma e o princípio da equiparação estaria sendo utilizado da mesma maneira. De fato muitas outras maneiras são possíveis e, se pensarmos um pouco, a escala numérica é apenas um substituto abstrato para o conjunto de talhos ou pedras em um saco.

Desta forma, contar uma coleção de elementos equivale a encontrar um conjunto de mesmo tamanho. Se este tamanho já é conhecido, não é necessário contar os elementos da coleção para conhecermos a resposta desejada. Por exemplo, apresento para vocês um auditório e informo que há 150 poltronas, na sequência pergunto: quantas pessoas sentadas poderemos acomodar? A resposta é óbvia; 150 pessoas.

Um Problema

O princípio da equiparação é uma ferramenta poderosa de contagem e procurarei ilustrar esta idéia através de um exercício bastante conhecido:

Suponha uma grade com 5 de largura e 3 de altura. Você está localizado no canto inferior esquerdo e deseja alcançar o canto superior direito. Só é possível a locomoção para a direita ou para cima. Quantos caminhos existem?

Certifique-se de que entendeu o problema. Desenhe a grade e trace alguns caminhos possíveis. Afinal, quantos existem? Se quiser pensar um pouco no problema interrompa a leitura neste ponto e volte mais tarde.

Adiantando já para a resolução, é possível perceber que cada caminho envolve 5 passos para a direita e 3 passos para cima. Se representarmos um passo para a direita pela letra D e um passo para cima pela letra C, todos os caminhos procurados podem ser representados por uma palavra de 5 letras D e 3 letras C's. Por exemplo, a palavra DCDDCCDD representa um dos caminhos enquanto CCCDDDDD representa outro.

Se pudermos concluir que a quantidade de palavras com 5 D's e 3 C's é exatamente igual a quantidade de caminhos que pretendemos contar, podemos contar as palavras ao invés dos caminhos e resolver o problema. Esta é a essência do princípio da equiparação.

Anagramas

Um anagrama é uma palavra formada a partir da reorganização das letras de outra palavra. Assim ROMA é um anagrama de AMOR. Palavra, no contexto que estou usando, não precisa ter nenhum significado, assim, a palavra MRAO também é um anagrama de AMOR.

A quantidade de anagramas de determinada palavra é assunto bastante estudado no ensino médio e não tratarei do assunto aqui. Digamos que no momento, calcular esta quantidade é um processo simples e de fácil entendimento.

Um pouco mais complicado é calcular a quantidade de anagramas de palavras com caracteres repetidos com por exemplo a palavra PASSEIO ou a palavra AUTOMATICO, mas novamente, há uma forma simples e sistemática de realizar esta contagem.

Se temos uma ferramenta para contar a quantidade de anagramas, por que não usá-la para resolver o problema proposto anteriormente, afinal a resposta do problema é a quantidade de anagramas que a palavra CCCDDDDD possui. Todos concordam?

Enfim, tínhamos um problema bem definido, conseguimos mapeá-lo para outro contexto, no caso o contexto dos anagramas que possuímos procedimentos fáceis de cálculo. Assim, usando o princípio da equiparação, contamos a quantidade de anagramas possíveis e automaticamente resolvemos o problema.

Um outro problema

Pensar em anagramas é uma boa maneira de resolver problemas de contagem em geral. Não estou querendo dizer que podemos sempre mapear um problema para um conjunto de anagramas, mas sim que sempre que pudermos a solução é imediata.

Um outro exemplo cuja solução por anagramas é simples é o seguinte:

Em um grupo de 9 pessoas conhecidas gostaríamos de eleger 2 presidentes, 3 diretores e 4 gerentes. De quantas maneiras podemos realizar a divisão?

Mais uma vez é possível modelar este problema usando a idéia de anagramas. Numere as pessoas de 1 a 10 e escreva na sequencia. Imediatamente abaixo destes números enfilere 9 letras, 2 P's para presidentes, 3 D's para diretores e 4 G's para gerentes.

123456789
PPDDDGGGG

Suponha que esta representação indica que as pessoas 1 e 2 são presidentes, as pessoas 3, 4, 5 são diretores enquanto as pessoas restantes são gerentes. É claro, muitas outras formações são possíveis, cada uma delas representada por um diferente anagrama da palavra PPDDDGGGG.

123456789
PPDDDGGGG
PDPGGGDGP
DGGGDPPDG
etc...

Assim o número procurado é exatamente igual ao número de anagramas da palavra PPDDDGGGG.

Generalização

Anagramas são ferramentas poderosas e na verdade generalizam os conceitos conhecidos de combinação, arranjo e permutação. Com isso quero dizer que toda combinação pode ser representada por um anagrama assim como todo arranjo e toda a permutação.

Por exemplo toda a combinação C(n,p) pode ser representada como a quantidade de anagramas de p X's e n-p Y's. Por exemplo C(7,3) é igual a quantidade de anagramas da palavra XXXYYYY.

Um arranjo A(n,p) pode ser representado pela busca de todos os anagramas de uma palavra com n-p letras distintas e n-p letras iguais. Assim A(7,3) é equivalente a quantidade de anagramas da palavra ABCXXXX.

Uma permutação de n elementos P(n) é sempre igual a quantidade de anagramas de uma palavra com n letras distintas. Exemplificando P(4) é equivalente a quantidade de anagramas da palavra AMOR.

Conclusão

O princípio da equiparação é muito útil para resolver um sem número de problemas. Suponho que aulas de combinatória focadas neste tipo de raciocínio caminharão no sentido do fortalecimento de conceitos ao invés de memorização de fórmulas. Os anagramas são apenas um exemplo de conjunto que podemos utilizar na aplicação do princípio da equiparação. Eles naturalmente não esgotam o assunto mas é uma nova ferramenta na tentativa de despertar a intuição de alunos e professores.

O Segredo

Por mais incrível que nos possa parecer o princípio da Contagem é mais antigo do que o conceito de número, isto é, nossos antepassados conseguiam contar antes mesmo da humanidade conhecer ou inventar os números.

Suponha que você leitor é submetido a uma máquina do tempo que o transporta para uma época onde os números não eram conhecidos. De alguma maneira esse conhecimento também lhe é retirado porém sua inteligência e capacidade física são preservadas. Uma peculiar comunidade o recebe e, surpreendentemente, lhe oferece uma importante posição. Enfim, você é designado Pastor de Ovelhas.

Honrado com sua sua nova atribuição, logo toma conhecimento da expectativa da comunidade para com sua atuação em tão nobre ofício: certificar que o rebanho está sendo bem tratado; garantir que não haja predadores nem ladrões por perto; verificar se a cerca está livre de furos ou descontinuidades de modo que nenhum animal possa fugir; alertar a autoridade local de uma iminente escassez ou superpopulação.

Ansioso por mostrar resultados, você começa imediatamente a trabalhar e logo se defronta com alguns problemas que requerem rápida solução. Há muitas ovelhas para pastorear e é praticamente impossível diferenciar uma ovelha das outras, assim não é simples perceber se algumas foram roubadas ou devoradas por algum predador.

Confiante, você acredita que sua mente avançada, proveniente do futuro, logo irá encontrar uma solução para aquela milenar e trivial tarefa. Estranhamente, nada lhe vem a cabeça e os dias vão passando. Quando questionado sobre a saúde do rebanho, você, num sentimento entre vergonha e agonia, mente, dizendo que tudo vai bem, porém na realidade você não sabe mais hoje do que no dia em que chegou.

Um dia você toma conhecimento de que o antigo pastor ainda vive e que, apesar de velho, está lúcido e gosta de companhia. Aliviado você o procura em busca de aconselhamento e é neste dia que você descobre o grande segredo.

Hoje sabemos que a ferramenta de contar as ovelhas é essencial para o ofício de Pastor, porém nesta época números não eram conhecidos. Qual é afinal o grande segredo que o ancião lhe contou?

Simplício

Galileu Galilei foi obrigado a responder diante do tribunal da Santa Inquisição porque escreveu um livro que contrariava os dogmas da Igreja. "Diálogo sobre os Dois Máximos Sistemas de Mundo" foi escrito na forma de um diálogo entre três personagens: Salviati, o defensor do ponto de vista de Galileu que, seguindo os passos de Copérnico, colocava o Sol ao centro do Universo; Simplício que defendia a posição da igreja com a Terra ao centro do universo e Sagredo, uma espécie de mediador do diálogo.

O papa Urbano VIII obviamente se enfureceu com a escolha destes nomes, afinal a sua posição e a da igreja era defendida por alguém de nome Simplício. Tamanho erro estratégico colocou Galileu, religioso devoto e amigo do papa, em prisão domiciliar até o fim de seus dias.

Recebi de meu antigo chefe um relato de um episódio que ocorreu nos últimos dias. Trata-se de um evento cotidiano protagonizado por ele mesmo e um subordinado de alta patente da área de desenvolvimento de software. O acontecimento foi narrado de modo um tanto jocoso e de fato, para quem conhece os envolvidos, é muito engraçado. Reproduzirei aqui o relato, porém, para preservar a identidade dos protagonistas, optei por mudar seus nomes à moda de Galileu Galilei. Acompanhe abaixo, observando que minhas alterações e comentários estão em negrito.

Nós aqui na empresa temos 3 vagas no subsolo que estão sendo utilizadas por mim (Salviati), pelo Fulano (coadjuvante) e pelo Simplício. Como a garagem é pequena, o prédio utiliza serviços de manobristas que ficam na garagem até a hora em que nossos carros estejam posicionados para podermos sair sem a necessidade de manobrar outros carros. Quando estão nesta situação, o manobrista deixa todas as chaves na portaria que fica no andar térreo.

Sexta-feira, à noite, eu e o Simplício saímos da empresa e nos dirigimos à portaria (térreo) para pegar as nossas chaves. Reconheci e peguei a minha chave, pois utilizo um chaveiro com um cifrão para dar sorte, mas percebi Simplício confuso, com duas chaves idênticas de Mercedes (sim, pasmem, Simplício tem um Mercedes), fazendo aquela cara de interrogação. Ele pensou, pensou, tentou verificar se havia alguma marquinha na chave que pudesse fazê-lo concluir qual seria a sua, mas nada, nenhuma marquinha. Concluiu ele que o melhor seria levar as duas chaves ao subsolo, experimentá-las e trazer de volta a errada. Eu, não aguentando, interferi: Por que trocar 50% de chances de você não precisar retornar por 100% de certeza de que você precisará retornar para devolver a chave errada? Ele continuou com cara de interrogação. Como sempre, tive que explicar em detalhes: Por que você não escolhe uma das chaves e desce, se acertar, não precisa voltar, se errar, volte e pegue a outra chave que será a correta. Depois da segunda explicação e de alguma ajuda do porteiro Sagredo, fazendo um pequeno teatro, ele enfim entendeu e feliz falou: Por isso que você é o chefe!!! (sim, Simplício é capaz deste tipo de comentário apaspalhado)

Envergonhado por uma declaração desta na frente do porteiro Sagredo que me olhou com aquela cara de “você só contrata débeis mentais, para se sentir superior a eles”, desci com Simplício e “voilá”: ele acertou na escolha da chave e não precisou voltar à portaria. Triste pelo ocorrido, devo ter gerado alguma energia negativa que meu carro nem funcionou direito. Por outro lado, o Simpício viu a outra Mercedes que estava na garagem e lamentou não ter escolhido a chave errada.

Conheço Salviati e Simplício há muitos anos e me diverti muito lendo o relato acima enviado por Salviati. Simplício é Arquiteto de Software Sr, com mestrado, Mercedes e tudo o mais, só espero que não se ofenda muito por ter publicado esta história no Blog. É certo que omiti sua identidade mas aqueles que o conhecem saberão sobre quem estou falando. De qualquer forma, a mensagem que quero deixar é outra. Muitas pessoas reclamam da Matemática porque acham que ela não tem aplicação prática e que não serve para nada. Penso diferente, acho que nós não percebemos quando a Matemática se materializa em nossa frente.

Beleza da Matemática

Oi, Alexandre
Não o conheço mas, aproveitando seus comentários, creio que seria interessante que vc, um matemático, explorasse um pouco mais o que é essa "beleza" da simetria matemática e que nesse "encontro" tanto o fascinou!
Em outras palavras, o que há aí que chamamos de "belo"?
Fale-nos um pouco mais sobre isso...
Abs

Olá Fernando,

Sua pergunta é profunda e bastante difícil de responder. Toda a vez que tento definir a beleza da matemática para outra pessoa percebo que o interlocutor não sentiu de fato o que eu gostaria de passar.

Porém, tenho certeza de que muitas pessoas, em especial muitos matemáticos, compartilham da minha opinião de que a matemática é antes de tudo bela. No processo de descoberta é comum caracterizarmos o desenvolvimento realizado como "belo" ou "elegante". Frases como "Que belo teorema !", "Aquela demonstração é muito sutil e elegante." são recorrentes no meio matemático.

Na verdade não sei definir o conceito de beleza, nem no sentido geral, nem no sentido matemático, se é que são diferentes. Mas posso dizer que em matemática, a beleza está próxima de simplicidade, clareza, originalidade e surpresa.

Em geral, uma demonstração curta e simples é mais bela do que uma demonstração longa. Um resultado claro, de fácil entendimento, é mais belo do que um resultado complexo que demanda muito esforço para sua compreensão. Um desenvolvimento original, ousado, criativo, fora do comum, será sem dúvida reconhecido como belo.

Se além de tudo isso, a demonstração causar surpresa, é bastante provável que o leitor a considere assombrosamente bela. "Surpreendente!" ele dirá e nunca mais vai esquecer o teorema. Há vários exemplos bastante conhecidos de teoremas que são unânimamente considerados belos, como a prova atribuída a Euclides da Infinidade dos Números Primos, ou a demonstração de que a diagonal do quadrado é um número irracional.

Quando uma pessoa curiosa, mas não matemática lê ou escuta que há uma prova de que existem infinitos números primos ela provavelmente pensará: Como alguém pode provar que existem infinitos elementos de alguma coisa? Se esta mesma pessoa ler e entender a demonstração, perceberá que não há alternativa alguma a não ser que, de fato, existam um número infinito de números primos. Isso causará surpresa, prazer intelectual e o contato com uma sensação de VERDADE nunca experimentada anteriormente.

A verdade e a certeza que a matemática nos traz não pode ser subestimado na construção da nossa percepção da beleza. Nossa vida é repleta de incertezas, não sabemos se vamos ter emprego no mês que vem, se vamos ser bem sucedidos neste ou naquele projeto, se nossos filhos vão ser felizes, etc..., etc... etc... mas EXISTEM INFINITOS NÚMEROS PRIMOS. Parece bobo comparado com nossas necessidades reais mais o tipo de certeza que a matemática fornece, nos traz conforto, alento, e por que não, prazer. Trazendo prazer, queremos contemplar mais e mais esta verdade. Enfim, o que dizemos quando queremos contemplar algo mais tempo? Que este algo é belo.

É impossível esgotar o assunto e tenho a impressão de que qualquer linha argumentativa é pobre frente a contemplação de uma demonstração real que pretendo mostrar para finalizar este texto.

Para sair do lugar comum apresentarei uma demonstração não muito conhecida que acho muito bela atribuída ao matemático medieval Nicolau Oresme relacionado com a soma de uma série infinita.

Sabemos que a soma 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... é igual a 2. Este resultado por si só é bastante surpreendente afinal estamos somando infinitos termos e obtendo um número finito, isto é 2.

Da mesma forma 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... é igual a 3/2. De novo, uma soma infinita resultando num valor finito. E isso vale para qualquer série da forma 1 + 1/k + 1/kk + 1/kkk + ...., se k for maior do que 1.

Agora, e a série 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...? Ela é igual a um valor finito ou ela é igual a infinito como é a série 1 + 1 + 1 + 1 + ...?

Oresme mostrou que a série 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ..., também chamada de série harmônica, é igual a infinito, formalmente Oresme provou que a série harmônica é divergente. Observe a simplicidade e elegância da demonstração.

Note que:

1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4 portanto 1/3 + 1/4 > 1/2

1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 portanto 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/2

1/9 + 1/10 + ... + 1/16 > 1/16 + 1/16 + ... + 1/16 (8 vezes 1/16) portanto 1/9 + 1/10 + ... + 1/16 > 1/2

Podemos portanto reescrever 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ... como 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + ...

Enfim,

1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + ... > 1 + 1/2 + (1/2) + (1/2) + ...

Ora sabemos 1 + 1/2 + (1/2) + (1/2) + ... é igual a infinito. Então, obviamente 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + ... também é igual a infinito.

Bom não sei se você irá achar bela esta demonstração, afinal beleza é pessoal, mas tenho certeza de que há alguma demonstração, algum resultado que você irá considerar belo ou elegante ou interessante.

Um abraço

Alexandre

Fios de cabelo em São Paulo

Existe uma anedota bastante conhecida sobre os matemáticos. O sujeito está num balão que vaga a esmo sobre um grande deserto. Perdido, ele avista um andarilho na linha do horizonte. Por sorte os ventos o levam até uma distância próxima do andarilho. Lá de cima o sujeito grita:

— Eeeeeeeeiiiii, aí embaixo! Onde é que estou?
O andarilho observa, analisa e responde:
— Você está num balão.
Diante desta resposta o sujeito, atônito, retruca.
— Você é um matemático, não é?
— Sim, como você sabe?
— Bom, sua resposta é absolutamente correta e não serve absolutamente para nada.

Essa piada é o que podemos chamar de "piada genérica" e é muitas vezes customizada para outras profissões, é possível que vocês já a tenham ouvido interpretada por outros atores, como os Consultores ou mesmo os Estagiários, mas nenhum possui um perfil tão adequado quanto os Matemáticos aos propósitos da piada.

Sim, a matemática está preocupada com a verdade, tão preocupada que preferimos muitas vezes falar o óbvio a correr o risco de cometer uma imprecisão. É surpreendente que falando o óbvio o tempo todo alcançamos verdades não tão claras assim, fato que pretendo ilustrar para vocês.

Na cidade de São Paulo existem duas pessoas com a mesma quantidade de fios de cabelo?

Procurem responder a questão acima. Imagino que uma série de respostas serão possíveis. Enumero alguma delas:

1) Acho que não.
2) Acho que sim.
3) Não podemos afirmar com certeza.
4) Não, é claro que não.
5) Sim, com certeza sim.
6) Sim, dois carecas tem zero fios de cabelo.

Para acabar com a alegria de quem respondeu a resposta (6), consideramos que não há carecas, ou se preferirem, que trocamos cada careca por uma pessoa com cabelo de outras cidades.

Neste ponto, volto a insistir na pergunta, existem ou não existem duas pessoas com a mesma quantidade de fios de cabelo. O que diz a intuição de vocês? O meu palpite é que a grande maioria responderá algo próximo das repostas (1), (2) ou (3). Estou certo?

Bom, agora vou provar, isso mesmo, provar, que com certeza existem duas pessoas na cidade de São Paulo com a mesma quantidade de fios de cabelo. Para tanto, lançarei mão de dois axiomas, duas premissas que uma vez aceitas, se tornarão verdades irrefutáveis no desenvolvimento do raciocínio.

• (Axioma I) Nenhuma pessoa possui mais de 1 metro quadrado de couro cabeludo.

• (Axioma II) Nenhuma pessoa possui mais de 1000 fios de cabelo por centímetro quadrado de couro cabeludo.

Para mim é razoável que não existam pessoas na cidade de São Paulo que violem qualquer um dos axiomas propostos. Agora, se vocês discordam é porque conhecem tal aberração e nesse caso sugiro interromper o artigo e levar seu amigo para qualquer programa de televisão que aprecie este tipo de atração.

Bom, se chegou aqui é porque aceitou os axiomas. Nesse caso, é simples concluir que nenhum ser humano pode ter mais do que 10.000.000 fios de cabelo. Note que se qualquer pessoa tiver mais do que 10.000.000 fios terá quebrado um ou os dois axiomas.

Neste ponto, devemos escolher alguém para realizar o trabalho da contagem. Para dificultar, vou escolher um "recenseador capilar" corrupto, disposto em troca de uma boa soma em dinheiro, a provar o contrário, isto é, que não existe empate de número de fios de cabelo em São Paulo. Como instrumento de trabalho o recenseador receberá uma lista numerada de 1 a 10.000.000 e seu trabalho será marcar ao lado de cada número quantas pessoas foram encontradas.

O recenseador inicia, então, seu trabalho. Escolhe a primeira pessoa, conta 2347 fios, a segunda 1230, a terceira 4007 e assim vai, contando e anotando na sua lista.

Em determinado momento, ele se depara com o número 4007 novamente, aquele mesmo encontrado para a terceira pessoa avaliada. Se ele marcar novamente 4007, haverá duas pessoas com aquele mesmo número. Disposto a adulterar a informação, ele olha para os lados e disfarçadamente considera 4008, número ainda não utilizado.

Depois de meses de trabalho, o recenseador já coletou 10.000.000 números, isto é, ainda faltam 2 ou 3 milhões para completar o trabalho, afinal, todos sabemos que São Paulo tem bem mais do que 10 milhões de habitantes.

Ao pegar a caneta para registrar o próximo número, nosso recenseador percebe ( tardiamente pensará o leitor mais perspicaz) que todos os números já estão ocupados e não resta alternativa para ele, mesmo adulterando os resultados, a não ser repetir algum número. Enfim, aceito os axiomas, com certeza existem em São Paulo duas pessoas com a mesma quantidade de fios de cabelo.

O raciocínio acima é baseado no Princípio da Casa dos Pombos, princípio que afirma que se n pombos devem ser postos em m casas, sendo n > m, então pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo. Apesar de se tratar de um fato extremamente elementar e óbvio, o princípio da casa de pombos é útil para resolver problemas que não são imediatos. Naturalmente, quando aplicamos o princípio devemos identificar quem são os "pombos" e quem são as "casas" de nosso problema.

Espero que vocês tenham acompanhado o raciocínio e percebido que, mesmo se escolhermos um recenseador viciado, a conclusão será a mesma. O desenvolvimento acima é uma demonstração matemática como qualquer outra apesar de utilizar um formato pouco usual. A partir de um conjunto de axiomas, realizamos deduções até chegamos ao resultado esperado.

Não sei se esse resultado o impressiona mas quando percebi isso pela primeira vez fiquei bastante intrigado com o fato de que, mesmo sem contar cada caso, posso ter certeza desta informação por um raciocínio indireto, mas totalmente válido e irrefutável.

O Jogo da Vida

Gostaria de apresentar o viciante e pouco conhecido "Jogo da Vida". Empresários, cuidado! O Jogo da Vida pode parar um departamento inteiro durante toda a tarde de forma mais eficiente do que o Orkut. Sob sua aparência ingênua e trivial se esconde um voraz devorador de cérebros.

Deixando a brincadeira de lado, o Jogo da Vida (Game of Life) foi inventado pelo matemático inglês e professor da Universidade de Princeton John Horton Conway em 1970 e desde lá tem despertado nossa curiosidade e imaginação. Ele não é propriamente um jogo no sentido clássico, não há objetivo, não há jogadores, vencedores ou perdedores. Definida uma posição inicial para as peças do jogo (células) , regras simples determinarão os acontecimentos que estão por vir. O Jogo da Vida é surpreendente em muitos aspectos, com várias facetas e desdobramentos, um ambiente muito rico para novas descobertas.

O Jogo da Vida é composto de um grande tabuleiro infinito, inteiramente quadriculado onde cada um dos quadradinhos representa uma célula que poderá estar viva ou morta. Inicialmente todas as células estarão mortas, no ponto em que nós, em nossas raras intervenções (na verdade a única), iremos definitivamente criar vida e compor o que chamamos de padrão inicial (ou configuração inicial). A seguir, comandamos uma espécie de Big Bang, isto é, damos início ao jogo e observamos seu comportamento. Conway definiu cuidadosamente 3 simples regras que irão reger o comportamento do jogo, uma regra para os nascimentos, outra para a morte e outra para a sobrevivência:

• Regra para nascimento: Toda célula morta se tornará viva quando exatamente 3 de suas 8 células vizinhas estiverem vivas.
• Regra para sobrevivência: Toda célula viva que possui 2 ou 3 células vizinhas vivas, continuará viva.
• Regra para morte: Em todos os outros casos, uma célula morrerá (ou permanecerá morta), ou por solidão (1 ou menos vizinhos vivos) ou por lotação (4 ou mais vizinhos vivos).
  

Apesar de simples, estas regras costuma gerar alguma confusão. As pessoas normalmente perguntam: "Mas o que devo fazer primeiro? Eliminar as células mortas ou incluir as que irão nascer?". A resposta é nenhum nem outro! As duas operações deverão ser feitas ao mesmo tempo. Dito de outra maneira, é irrelevante a ordem em que as operações são feitas, o resultado é sempre o mesmo. Um dica é marcar as que vão nascer e as que irão morrem sem alterar o estado do jogo, depois disso pode-se de fato criar as células maracadas para nascer e apagar aquelas marcadas para morrer. Certifique-se que você compreendeu esta sutilieza acompanhando o exemplo abaixo.

Suponha a execução do Jogo da Vida a partir de um padrão inicial composto de 5 células vivas enfileiradas. Esse tipo de padrão é conhecido como pentaminó, isto é, um padrão formado por cinco quadradinhos onde cada uma delas compartilha no mínimo uma face com qualquer um dos outros. O pentaminó é, enfim, uma generalização do dominó, porém com cinco quadradinhos ao invés de dois.

Quando submetemos este padrão às regras, ele se transformará no oitavo desenho sete passos após o Big Bang. Depois disso, surpreendentemente, o nono padrão será exatamente igual ao sétimo que por sua vez gera novamente o oitavo, resultando finalmente num padrão oscilante depois de 7 gerações.

Nem sempre o padrão inicial resulta em um padrão oscilante. Em muitos casos a população inicial caminha para sua total extinção, onde depois de algum tempo todas as células estão novamente mortas. É o que ocorre com este outro pentaminó, extinto em apenas 3 passos (ou gerações).

Ao conceber seu jogo, Conway testou todos os 12 pentaminós existentes e logo percebeu que ou eles se tornavam oscilantes, ou eram extintos. Havia, porém uma única exceção, um dos pentaminós (abaixo) se recusava a estabilizar depois de um número significativo de passos. Lembrem-se vocês leitores que Conway testou estes padrões em um tabuleiro ou em um papel milimetrado, afinal eram os anos 70 e os computadores não eram assim tão disponíveis, mesmo para acadêmicos de porte.

Felizmente, preparei uma surpresa para vocês, aqui mesmo neste blog. Basta rolar a página até o final que vocês verão um simulador do Jogo da Vida que desenvolvi para testarmos quantos padrões desejarmos. Ele foi desenvolvido em Java e só irá funcionar se o plug-in do Java estiver devidamente instalado no browser de vocês, se não for esse o caso basta entrar no site http://www.java.com/pt_BR/ e clicar numa seta amarela enorme que aparece logo de cara que a atualização será efetuada. É de graça!.

Para criar vida, basta clicar em qualquer quadradinho que eles viverão, tornando-se pretos. Um novo clique, e eles morrerão novamente. Uma vez definida a posição desejada, basta clicar no botão ON em cima à esquerda. Se desejarem pausar a simulação cliquem novamente neste botão que agora tem o nome de OFF.

Vocês logo perceberão que um intuitivo seletor de velocidade fica à direita deste botão e pode ser usado à vontade. As duas informações que ficam em cima e à direita são respectivamente, o número de células vivas e a quantidade de gerações (passos) realizados. Finalmente, na parte inferior há uma versão do mesmo universo, porém reduzido de maneira que possamos visualizar a ação de uma perspectiva mais ampla. É possível arrastar o retângulo vermelho posicionado no centro desta região para selecionar áreas distantes deste mesmo universo. Experimente!

Bom, por hora não vou estragar a surpresa de vocês. Há ainda muito o que dizer mas vou deixar vocês se divertirem um pouco...

The Long Tail

Não resisti, forças misteriosas forçaram-me a investigar um pouquinho mais a natureza do número 9376, este número estranho de caráter auto-reprodutivo que quando multiplica-mo-lo (gostaram da mesóclise? Corrijam-me se a usei errado) por ele mesmo resulta em um novo número com o mesmo "código genético".

Encarei ele de frente e algo novo surgiu. Qualquer "cauda" do número 9376 também é auto-reprodutiva! Ok, vocês não endenderam nada, afinal o que é a "cauda" de um número? Bom, foi o nome que encontrei para designar o número encontrado em qualquer trecho à direita do número original. Assim, 9376 tem 4 caudas, o número 6, o número 76, o número 376 e ele próprio, o número 9376. Fazendo as contas, logo vi que as 4 caudas de 9376 também são auto-reprodutivas:

9376 x 9376	=	87909376
376 x 376	=	141376
76 x 76	=	5776
6 x 6	=	36

Pensei um longo tempo neste assunto e percebi que este fato é necessário para que o número seja auto-reprodutivo, ou seja: todas as caudas de um número auto-reprodutivo deverão ser necessariamente números auto-reprodutivos. É simples demonstrar este resultado e sugiro que vocês tentem, não envolve nada além do que vocês aprenderam até a sétima série. Para aqueles de menor magnetismo pessoal aconselho apresentar este resultado num sábado a noite qualquer. Vocês verão o sucesso que irão fazer ! É melhor do que carro importado.

Neste ponto, um sentimento megalomaníaco apareceu em meu peito. Será que eu não poderia construir números auto-reprodutivos maiores, com digamos mil dígitos, ou dez mil, talvez 1 milhão? Lá fui eu para o caderno de alemão de minha esposa rabiscar e rabiscar durante horas. Depois de uma eternidade finalmente eu desisti frustrado. O que eu estava procurando era uma regra para encontrar um número reprodutivo a partir de uma de suas caudas. Por exemplo, gostaria de, a partir de, digamos 76, encontrar 376 ou 9376. É claro, esta regra deveria ser suficientemente poderosa para eu encontrar números reprodutivos maiores do que 9376.

Como não podia deixar de ser sofri uma reprimenda da minha esposa. Onde já se viu, disse ela, estragar todo o meu caderno com esses rabiscos? (sim, ela os chamou de rabiscos toda a minha arte). Abalado e com um caderno novinho e sem pautas que ganhei dela, resolvi apelar, fazer uso de um arsenal matemático bem além da sétima série. Com caderno novo, técnica nova e esposa trabalhando fora, pude me deliciar com o melhor que a internet pode oferecer... é claro, dicas sobre a aritmética modular.

Esse relato tinha tudo para acabar aqui, mas contrariando todas as probabilidades eu encontrei a tal regra que gera números auto-reprodutivo cada vez maiores. Ela é simples e bela, quase uma pintura. Aprecie:

3n²-2n³ (mod 10^2d(n))

onde n é um número auto-reprodutivo e d(n) é o número de dígitos deste número. O resultado da expressão acima é um novo número auto-reprodutivo com o dobro de dígitos do anterior. Calma, não é motivo para pânico, posso reescrever a fórmula acima sem usar a palavra "mod". De fato, a expressão é equivalente a:

Resto da divisão de 3n²-2n³ por 10^2d(n)

Além de produzir um número auto-reprodutivo maior do que o número utilizado (que chamarei de "semente") a demonstração da fórmula acima trouxe uma informação muito mais sutil e importante. Existem infinitos números auto-reprodutivos, afinal, sempre será possível construir um maior a partir da "semente" anterior.

Para os que tentarem fazer as contas com uma calculadora simples tenho dois avisos: primeiro, vocês não irão muito longe pois como o tamanho dos números dobra a cada iteração, logo o limite de suas calculadoras irá estourar; segundo, é necessário saber como calcular "restos de divisão" quando o dividendo é negativo. No meu caso, preferi não perder muito tempo e lancei mão de recursos computacionais mais poderosos. Enfim, a partir do número 6 como "semente", obtive a uma boa sequência de números auto-reprodutivos, cada um com tamanho duas vezes maior do que o anterior.

6
76
9376
87109376
3740081787109376
95893380022607743740081787109376

Observe o poder do algoritmo, com apenas 5 iterações obtive, não 5 como pode parecer a primeira vista, mas 32 números auto-reprodutivos. Basta pegar o maior deles e listar todas as suas caudas. E para isso foi necessário partir de uma semente minúscula que é o número 6, que é claro, é um número auto-reprodutivo.

6
76
376
9376
09376
109376
7109376
87109376
787109376
1787109376
81787109376
etc...

A pergunta seguinte surgiu naturalmente, como deverá ter ocorrido para alguns de vocês (ou você... se apenas uma pessoa ler isso aqui. Oi mãe!) caros leitores. Não existe outra semente pequena diferente de 6? Uma coisa é claro, se outra semente existe, ela deverá ter apenas 1 dígito, pois o fato de ter mais do que 1 dígito implica que sua cauda de tamanho 1 também seja auto-reprodutiva. Bom, agora ficou fácil, basta testar todos os números de 1 dígito e... Voilà !!! o número 5 também é auto-reprodutivo, afinal 5 x 5 = 25. Quantos aos outros números, nenhum deles é auto-reprodutivo.

A fórmula é bem poderosa, e funciona com qualquer semente, então foi simples calcular toda um nova família de números auto-reprodutivos a partir da semente 5.

5
25
625
0625
90625
890625
2890625
12890625
212890625
8212890625
18212890625
918212890625
etc...

Incansável e motivado pela últimas realizações, fui atrás de novas regularidades e resolvi somar os números das duas famílias usando a expressão R₅(d) + R₆(d), onde R₅(d) representa o maior número auto-reprodutivo de cauda 5 que possui d ou menos dígitos, analogamente R₆(d) é o maior número auto-reprodutivo de cauda 6 que possui d ou menos dígitos. Bom, realizei a soma e obtive a tabela abaixo:

n	R5(n)	R6(n)	R5(n)+R6(d)
1	5	6	11
2	25	76	101
3	625	376	1001
4	625	9376	10001
5	90625	9376	100001
6	890625	109376	1000001
7	2890625	7109376	10000001
8	12890625	87109376	100000001
9	212890625	787109376	1000000001
10	8212890625	1787109376	10000000001
11	18212890625	81787109376	100000000001
12	918212890625	81787109376	1000000000001
13	9918212890625	81787109376	10000000000001
14	59918212890625	40081787109376	100000000000001
15	259918212890625	740081787109376	1000000000000001
16	6259918212890625	3740081787109376	10000000000000001
17	56259918212890625	43740081787109376	100000000000000001
18	256259918212890625	743740081787109376	1000000000000000001
19	2256259918212890625	7743740081787109376	10000000000000000001

Incrível, não é mesmo? A soma entre os números reprodutivos das famílias de cauda 5 e de cauda 6 resultam sempre em um mesmo padrão, independentemente do tamanho do número, ou da cauda se preferir. A expressão que ilustra esse resultado é:

R₅(d) + R₆(d) = 10^d + 1

Gostei muito desta conjectura e ainda me espanto com ela, dois números de famílias diferentes de números auto-reprodutivos quando somados resultam em uma família de números capicuas. Para quem não sabe, números capicuas são aqueles que lido da direita para esquerda ou da esquerda para a direita resultam sempre no mesmo número. Para os mais letrados, capicua é o equivalente numérico dos palíndromos.

Após tantas regularidades e da existência de uma família infinita de números auto-reprodutivos, desconfiei que alguém já tenha trabalhado com isso e mais uma vez recorri ao Oráculo. "Oh Oráculo. Existe alguém que descobriu os números auto-reprodutivos antes de mim?". Aguardei um pouco e obtive: "Sim, caro mortal, muitas pessoas trabalharam com isso e já haviam percebido isso há muito tempo, porém deram outro nome, chamaram de números automórficos". Bom, um pouco decepcionado, confesso, voltei a minha insignificância e escrevi este pequeno artigo.

Um último comentário é de que não encontrei no Oráculo qualquer referência à conjectura acima. Isso significa que é possível que ainda não tenha sido batizada por ninguém. Como prêmio para quem leu até aqui (viu mãe) prometo batizar a conjectura acima com o nome da pessoa que a demonstrá-la e mandar um post com a demonstração. Lembro que uma conjectura ainda não demonstrada pode se mostrar falsa para algum valor de n maior, portanto uma demonstração se faz necessária. Se a conjectura é demonstrada, ela não é mais uma conjectura e sim um Teorema.

Um abraço a todos
Alexandre