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quarta-feira, 1 de fevereiro de 2012

A Matemática do Playlist


Meu irmão ligou dizendo que já estava perto e que eu deveria descer para ganhar tempo. Era sexta-feira, fim do dia e estávamos nos preparando para irmos ao litoral. Logo ao entrar no carro ele pediu para que eu colocar o novo CD que ele tinha comprado. Tinha 100 músicas e deveria durar a viagem toda e ainda sobrar.

Ele sugeriu que eu selecionasse o modo "randômico", porém frustado, fez o seguinte comentário:

- O randômico desse rádio tá quebrado!
- Como assim, quebrado - disse eu.
- Bom, você vai ver, daqui a pouco vai repetir uma música.
- Ué, e daí, o randômico não garante que as músicas não vão repetir. Já tentou o modo "sequencial"? -respondi irônico.
- Cara, tem 100 músicas no CD, toda a vez que vou pro escritório acabo ouvindo uma música repetida no caminho.

Fiquei intrigado com o comentário, e ainda mais intrigado com o gosto musical do meu irmão, mas afinal o carro era dele. Como fuga para o inferno musical a que fui exposto, meu cérebro logo encontrou consolo nas abstrações platônicas matemáticas, uma higiene mental.

No íntimo eu duvidava que o modo randômico estava quebrado uma vez que é tão fácil implementá-lo computacionalmente. Tentei modelar o problema de maneira a poder tratá-lo, assumi que o modo randômico no caso é equivalente a jogar um dado de 100 lados toda a vez para definir a música que será tocada. É claro que em algum momento repetições irão acontecer, mas a pergunta era, quando?

Matematicamente o que eu buscava era responder qual era o número esperado de músicas a ouvir até que haja a primeira repetição. Na estatística esse conceito tem um nome curioso, se chama "Esperança".

O conceito de Esperança tem um relação forte com a média, por exemplo, suponha que meu irmão anotasse quantas músicas escutou até a primeira repetição todas as vezes que foi ao escritório (assumindo que haja sempre tempo para que alguma repetição ocorra, o que não é verdade). A média deste valor é próximo ao valor esperado que estamos procurando.

Ele poderia tabular os valores conforme a tabela abaixo. Suponha que tenha ouvido o CD 1000 vezes, então a tabela seria algo assim.









Formalmente esse valor deverá ser próximo a expressão abaixo onde P(x) significa Probabilidade de que x ocorra:

1 x P(1 música sem repetição) + 2 x P(2 músicas sem repetição) + ... + 100 x P(100 músicas sem repetição)

O leitor paciente irá constatar que calcular a média aritmética de quantas músicas até a primeira repetição da tabela é próximo ao conceito platônico de "Esperança" dado em função de probabilidades. A pergunta que resta é como calcular as probabilidades. Para ajudar o raciocínio vamos calcular a probabilidade de  ouvirmos exatamente 4 músicas não repetidas, isto é, a repetição ocorrerá necessariamente na quinta música.




O que é equivalente a:




Convertendo os valores para uma forma geral teremos:



onde n = 100 e k = 4

Enfim, reconstruindo a fórmula acima em função dos resultados obtidos acima teremos:





Não consegui ainda uma forma fechada, ou seja, não consegui me livrar do somatório para a fórmula, o que significa que vou precisar usar arsenal computacional. Felizmente o leitor poderá contar com a widget que eu criei para calcular o número esperado de músicas em função do número total do CD.


Por exemplo, meu irmão ficou surpreso em saber que para seu CD esse número é 12, isto é, considerando uma média de 3 minutos para cada música, é esperado que ocorra a primeira repetição 36 minutos depois.

De fato, com o trânsito de São Paulo sexta-feira à noite, ouvimos a primeira repetição antes de chegarmos na imigrantes, onde fui acordado do meu transe matemático com um grito desproporcionalmente estridente do meu irmão:

- AhÁ, eu te disse, o randômico tá quebrado!!!!

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