Show do Milhão

Você foi convidado para participar do Show do Milhão! É, parece que a sorte bateu na sua porta, você que sempre foi considerado super inteligente por colegas, amigos e a família. Agora é a sua chance, afinal, você não é como aqueles outros convidados do programa que escorregaram logo nas primeiras perguntas. Enfim, será um grande dia e você finalmente resolverá sua situação financeira, se não ganhar o milhão, você ficará feliz com 100 ou 200 mil.

No dia da gravação do programa, você já não estava tão confiante. Muita coisa estava acontecendo ao mesmo tempo, a ansiedade estava nas alturas e você não queria decepcionar seus amigos e familiares. Iria aparecer pela primeira vez num programa de TV, conhecer o Silvio Santos e tinha ainda que parecer confiante.

E o show começou, vieram as primeiras perguntas, e... graças a Deus... eram simples como você esperava. Você começou bem, acertou a primeira, a segunda, a terceira. Chamou os universitários na quarta, pediu ajuda da platéia em alguma outra, sacou a dica que o Silvio Santos lhe deu e acertou a penúltima. Nossa, você acertou todas, só falta a pergunta do milhão! Silvio perguntou se você queria parar por aí e pegar o dinheiro. Você, com a confiança recobrada desafiou. Não, quero o milhão.

A pergunta derradeira então foi feita.

Algo não caiu bem, a pergunta era surpreendentemente fácil, você sabia disso, porém, por algum motivo, você não tinha certeza da reposta. O coração acelerou, as mão ficaram geladas, agora não dava pra voltar atrás. Enfim, você foi em frente e escolheu sua alternativa... a ERRADA! Você perdeu! Vai ter que voltar pra casa com o prêmio de consolação que mal paga o tempo que você gastou.

Não desejo a história relatada acima para ninguém. Porém, suponha que isso realmente ocorreu com você, ou pior, que ainda vai ocorrer. Gostaria de saber, caro leitor, qual é a pergunta que você preferiria ter errado entre as 3 que apresentarei abaixo:

1. Qual é a capital da Colômbia ?
a) La Paz
b) Buenos Aires
c) Bogotá
d) Quito
e) Caracas

2. A girafa é um:
a) réptil
b) crustáceo
c) molusco
d) mamífero
e) anfíbio

3. Quantas casas decimais tem o número PI
a) 0
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinito


Não fiz uma pesquisa formal e realmente gostaria de saber a opinião do leitor. Porém, numa coleta ocasional de opiniões pude constatar o que temia. A grande maioria prefere errar a questão 3, que envolve algum conhecimento de matemática. As pessoas em geral pensam que não saber matemática é romântico, é cool, é chique. Quase escuto o pensamento delas: "Eu gosto da vida, das pessoas, das relações humanas, gosta da natureza e das belezas da vida, tenho ojeriza a matemática e aos números, eles não tem vida, não tem emoções, são chatos e enfadonhos. Não é pra mim."

Quantos de nós já ouviu algo do tipo: "ai, nunca fui bom em matemática", "nossa, eu não sei fazer essa conta, odeio matemática". De fato, as pessoas tem quase orgulho de dizer esse tipo de coisa. Pior do que perder o milhão é passar vergonha na frente do Brasil inteiro, ou principalmente dos amigos. Então melhor não saber matemática do que falar que a capital da Colômbia é Buenos Aires, ou afirmar que a girafa é um réptil. Alguns argumentarão que a questão sobre o PI é muito mais difícil que as outras, portanto é melhor errar essa. Eu pergunto, é mais difícil mesmo?

Há alguns anos estava ministrando um curso sobre uma linguagem de programação para estudantes de ciência da computação. Um dos exercícios consistia em realizar um aumento de 20% para todas as pessoas que constavam no banco de dados. Até aí, nenhum problema. O passo seguinte do exercício consistia em voltar atrás, supondo que o aumento foi indevido, retornar os valores ao ponto que estavam. Surpreendentemente, nenhum dos 8 alunos conseguiu resolver o problema. Os 3 que tentaram cometeram o mesmo erro: eles aplicaram 80% ao valor obtido no primeiro exercício.

Salário Inicial: $ 100,00
Salário com aumento de 20% : $ 120,00
Tentativa de voltar ao salário inicial considerando 80% de $ 120,00: $96,00

$ 100,00 é diferente de $ 96,00

Não fiquei muito incomodado com o erro em si, fiquei incomodado com a indiferença ou talvez com a falta de vergonha, não ouvi nem um: "ah... é mesmo.". Os alunos continuaram impassíveis como se aquele erro não fosse assunto do curso.

E quanto ao PI

O número PI possui infinitas casas decimais. Ele é impressionante em muitos sentidos, e há livros inteiros escritos sobre ele. O PI é definido como a razão entre o comprimento da circunferência de um círculo e o seu diâmetro, para QUALQUER círculo.

Quando perguntei para um grande número de pessoas, quantas casas decimais tinha o número PI, obtive um número alarmante de repostas 2. Provavelmente as pessoas se lembravam que o PI é igual a 3,14 e não

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097
4944592307816406286208998628034825342117067982148086513282
3066470938446095505822317253594081284811174502841027019385
2110555964462294895493038196442881097566593344612847564823
3786783165271201909145648566923460348610454326648213393607
2602491412737245870066063155881748815209209628292540917153
6436789259036001133053054882046652138414695194151160943305
7270365759591953092186117381932611793105118548074462379962
7495673518857527248912279381830119491...

Intervalo entre Números Primos

Minha mulher me pediu 5 números consecutivos que não fossem números primos.

Não acreditam? Ok, ela não pediu isso mesmo, é claro, fui eu quem a induzi a fazer esta pergunta. Em resposta apresentei a lista, que já havia calculado anteriormente: 24,25,26,27,28

Ela não se impressionou e ainda me olhou com uma cara esquisita do tipo: “Você está com algum problema?”. Não desanimei e lembrei-a que todos os números da minha lista não eram primos. Ela deu de ombros e continuou a fazer coisas menos nobres e importantes como, por exemplo, o meu jantar. (em minha defesa, eu faço o jantar às vezes, faço uma pizza maravilhosa, vem até com embalagem da pizzaria da esquina).

Desafiei-a a fazer o mesmo, e pedi para me fornecer 3 números consecutivos não primos. Ela, jubilosa, disse: 14,15,16.

Fiz contato!

Ela investiu novamente, exigindo uma lista de 10 números. Já treinado, disparei: 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123.

Antes que o leitor me julgue um idiot savant, acrescento que já havia calculado alguns valores adiantando os números que ela tipicamente iria escolher.

Era minha vez novamente. Pedi entusiasmado: "Quero uma lista com 14000 números." Ela respondeu : "O jantar está na mesa!". Pronto, fim da brincadeira.

Espaço Mobral: Um número primo é um número que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo sem deixar resto. Os primeiros números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...

Matemáticos dificilmente encontram apoio social para conversar sobre seus assuntos prediletos, de maneira que muitas vezes fragmentos de atenção de baixa qualidade como esse são suficientes para despertar nossa vontade de pesquisar um pouco mais profundamente.

Uma chance para a computação

Instintivamente não é óbvio que uma lista tão grande possa existir, afinal a lista de números primos é infinita e eles não parecem estar muito espaçados.

Enfim, a pergunta é: É possível encontrar uma lista de 14000 números consecutivos que não são primos?

Esta pergunta, que eu mesmo fiz (matemáticos muitas vezes falam sozinhos) me inspirou a utilizar artilharia mais pesada. Desenvolvi um programa para encontrar a tal mega lista, se é que ela existe. Para testá-lo, comecei com listas pequenas, pedi 10 números e o programa respondeu os mesmos 10 que eu havia dito para minha esposa. Bom sinal.

Pedi 20 números e obtive: 1130 , 1131, 1132,...

Pedi 100 números e obtive: 370262, 370263, 370264, ...

Guloso, pedi 14000 e ... esperei... Esperei tanto que desisti . O programa simplesmente não parou de rodar. Diante deste quadro, a única conclusão é que o programa procurou (e procurou muito) mas não encontrou a lista nos primeiros milhões, ou bilhões (quem sabe) de números. Ainda assim não é possível afirmar que tal lista não existe, apenas que o computador ou o programa são lentos demais. Frustrante!

Um belo teorema

Sempre acreditei que quando a computação falha devemos recorrer a matemática, e parece que isso se encaixa perfeitamente a esse caso. Existe um belíssimo teorema sobre o assunto. O teorema diz que: “É possível conseguir listas de números não primos de QUALQUER tamanho”. Que 14000 que nada! Eu quero agora uma lista de 1.000.000!

O teorema ilustra uma técnica para se construir o primeiro número da lista desejada. A receita é a seguinte:

Suponha que queremos uma lista com 5 números consecutivos não primos. Então devemos:

• Escolher um número inteiro maior do que 1, digamos n

• Obter o primeiro número da lista calculando n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + n

Por exemplo, considerando n = 2, teríamos 2 x 3 x 4 x 5 x 6 + 2 = 722. De fato a lista 722, 723, 724, 725, 726 só possui números não primos. Podemos escolher qualquer valor para n. No caso n = 3, a lista seria 2523, 2524, 2525, 2526, 2527, também uma lista válida.

Observe que a fórmula não diz nada sobre encontrar a lista cujos números são os menores possíveis, ela apenas garante que encontraremos alguma lista do tamanho desejado. Como vimos anteriormente, a lista 24, 25, 26, 27, 28 é uma lista com números menores.

Para construir listas maiores basta estender a formula com mais fatores. Por exemplo, a fórmula para encontrarmos uma lista com 7 números será n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6) + n.

Ora, mais por que isso funciona? Simples, observe que o número n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + n é divisível por n, portanto um número não primo (já que n é maior do que 1). O próximo número n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + (n+1) também não é primo pois é divisível por (n+1). Enfim, o raciocínio pode ser estendido para todos os números consecutivos até n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + (n+4) que obviamente é divisível por (n+4).

Enfim, existem infinitos números primos e, mesmo assim, sempre é possível encontrar qualquer intervalo de números sem que ao menos 1 primo apareça. Este intervalo pode ser tão grande quanto desejarmos. Sabemos então que uma lista de 14000 números consecutivos não primos existe, só não conseguimos calcular seus números devido ao tamanho imenso do mesmo. Mesmo uma lista de 117 números, que meu computador conseguiu calcular, começa no número 1.349.534.

O Problema da Rota Colorida

A cidade de Manaus possui cerca de 2 milhões de habitantes. Apesar de não ser tão grande como São Paulo ou Rio de Janeiro, localizar um endereço em Manaus é uma das tarefas mais frustrantes que o motorista será obrigado a enfrentar. Em geral as ruas não possuem nomes (apenas apelidos) ou quando possuem não há placas informando.

Quando tudo parece bem, a rua possui nome e placa, certamente a numeração das casas estará totalmente desordenada. Depois das casas, digamos, 35 e 44 podemos encontrar a casa 7 seguida da 35 (novamente) ou podemos encontrar as casas 1322 seguido das casas 511 e 688. Ímpares e pares compartilham o mesmo lado da rua sem o menor pudor.

Quando você compra um eletrodoméstico numa loja de departamentos, o funcionário, além de perguntar o endereço, exige uma referência. Na verdade, o campo referência é obrigatório no seu sistema e sem isso a compra quase não pode ser feita.

Dirigir na cidade de São Paulo não é muito melhor. É certo que as ruas possuem nomes e placas e a numeração é ordenada e coerente mas a malha viária é tão complexa que fica difícil para o motorista entender.

Realizar retornos, corrigir rotas erradas, memorizar um trajeto são todas tarefas difíceis para o não taxista. Para piorar, você nunca está sozinho, para qualquer lugar que você vá, você terá companhia, e muita. Como todos sabemos, o trânsito em São Paulo é realmente infernal!

Dependendo de como a malha viária de uma cidade for organizada e construída, a vida dos motoristas e pedestres pode ficar muito mais fácil. Quem conhece Manhatam, por exemplo, sabe como é fácil se localizar e encontrar um endereço. Lá, as próprias ruas são numeradas de maneira que, se estamos na quinta avenida e deserjarmos ir para a sétima sabemos de antemão que precisamos caminhar 2 quadras em determinado sentido.

A topologia da malha viária é também bastante simples, aproximando-se de um grande quadriculado com ruas no sentido norte-sul e outras no sentido leste-oeste. Fácil não?

Podemos fazer melhor? Será que é possível projetarmos uma cidade com um sistema de localização diferente, que facilite ainda mais a vida das pessoas? Que seja simples e fácil de se orientar?

Incrivelmente o matemático israelense Avharam Trakhman resolveu o Problema da Rota Colorida e esse fato nos dá certeza de que é sempre possível projetar uma cidade com endereço absoluto. Mas o que é endereço absoluto afinal? Bom, estou chamando de endereço absoluto um endereço que cumpre duas funções:

• O endereço por si só pode ser utilizado para se encontrar o local não sendo necessário recorrermos a guias ou ao GPS.

• A rota sugerida pelo endereço absoluto funciona se partirmos de qualquer ponto da cidade. Ressalto a palavra qualquer e acrescento: O endereço absoluto é independente do ponto de partida.

Para exemplificar a idéia do endereço absoluto vou recorrer a um exemplo. Suponha uma mini-cidade com a malha viária representada na figura abaixo. As linhas azuis e vermelhas são as ruas, a direção permitida é representada pelas setas e os pequenos círculos são cruzamentos. O endereço do cruzamento amarelo é AVVAVVAVV enquanto o endereço do cruzamento verde é AAVAAVAAV.

Cada letra do endereço representa qual rua devemos seguir, a rua (A)zul ou a rua (V)ermelha. O incrível é que a rota AVVAVVAVV levar-nos-á ao cruzamento amarelo a partir de qualquer, isso mesmo, qualquer ponto do mapa. A rota AAVAAVAAV, analogamente, levará o motorista ao cruzamento verde independente do ponto de partida. Verifique!

Imagem retirada da wikipedia para explicação do Problema da Rota Colorida

Trakhman não estava de fato preocupado com urbanismo ou melhoria do sistema de orientação das cidades. O "Problema da Rota Colorida" está relacionado a teoria dos Grafos, entidades matemáticas abstratas representadas por desenhos como a figura acima. Também não é qualquer grafo (neste contexto troque por malha viária, se quiser) que tem essa propriedade, mas sempre será possível produzir um grafo com "endereço absoluto" se seguirmos as hipóteses descritas no teorema de Trakhman. Transformadas para a linguagem da malha viária as hipóteses são:

• Escolhidos dois cruzamentos quaisquer deverá ser sempre existir uma rota que parte de um cruzamento ao outro.
• Todos os cruzamentos deverão ter o mesmo número de opções de saída. Em nossa figura, esse número é igual a dois, observe que temos duas opções de saída, e somente duas, para cada um dos cruzamentos.

Se obedecermos as duas regras acima é possível projetarmos cidades com endereço absoluto de quaisquer dimensões.

O "Problema da Rota Colorida" estava sem solução desde que foi proposto por uma equipe de matemáticos dirigidas pelo professor Binyamin Weiss em 1970. A notícia da demonstração foi noticiada em todo o Brasil em 8 de fevereiro de 2008 e quem quiser pode consultar aqui.

Na realidade não sei se construir cidades com este conceito é economicamente viável ou se de fato é simples para as pessoas memorizar grandes sequências de letras. De qualquer maneira o conceito é sedutor e surpreendente. Antes da prova de Trakhman eu não fazia idéia, e acredito que o leitor também não, de que é possível construir mapas com endereço absoluto.

Prêmio de 2000 R$!

Ofereço 2000 reais para o primeiro que resolver o desafio abaixo.

Deslizar as placas numéricas de forma a alterar o número 14 com número 15 e ordenar todo o conjunto. Como todos sabem este clássico brinquedo só permite movimentos em direção ao espaço vazio das placas imediatamente adjacentes, posicionadas em cima, abaixo ou dos lados, não sendo possível destacar placas ou outras malandragens do tipo. A figura à esquerda mostra o ponto de partida enquanto a figura da direita mostra aonde devemos chegar para completar o desafio.

Considerei 2000 reais um valor adequado. Se oferecesse mais não me levariam a sério, se oferecesse menos não levariam a tarefa a sério. Além disso, 2000 R$ é equivalente a 1000 dólares, quantia que Sam Loyd ofereceu em 1878 para quem resolvesse o mesmo problema, então, porque não seguir a tradição.

Sam Loyd foi o maior expert americano em puzzles da época. Em suas próprias palavras, ele “deixou o mundo inteiro doido” ao propor “seu” recém descoberto puzzle 14-15. Na verdade a história provou não ter sido ele o primeiro a propor o puzzle. De fato o criador foi o agente postal Noyes Chapmak que inclusive solicitou a patente da descoberta. Para conhecer mais a história consulte http://bd.thrijswijk.nl/15puzzle/15puzzen.htm

Porque Sam Loyd esbanjou tanto dinheiro assim? Porque eu mesmo, seguindo os passos dele também estou esbanjando? Simples, Sam Loyd não precisou pagar um centavo pois ninguém resolveu o problema. E eu também não vou perder nada, pois o problema não possui solução, é impossível resolvê-lo.

Sam Loyd foi bem mais longe, ele não disse que era impossível e deixou algumas pessoas realmente enfurecidas. Eu adotarei outra abordagem, tentarei provar sem usar uma linguagem muito técnica que é impossível.

Como é possível provar que algo é impossível?

Provar que algo é impossível sempre despertou minha curiosidade. É simples imaginar como provar que algo é possível, basta fazê-lo e pronto, é possível. Por outro lado, provar que algo é impossível sempre me soou como uma desculpa para... Ora... é impossível porque ninguém ainda fez.

Não era possível ir até a Lua até que alguém foi lá e fez! Não era possível alguém ser atingido por um raio 7 vezes até que alguém foi lá e tomou! Bom, para aqueles inclinados a fazer os comentários ao lado sugiro acompanhar a demonstração abaixo, onde de fato é possível provar que resolver o puzzle 14-15 é impossível a ponto de eu oferecer 2000 reais ou muito mais para quem resolvê-lo.

Um passeio pelo problema

Uma tentativa de solução pode ser entendida com um "passeio" do espaço vazio através do tabuleiro. O passeio deverá começar e terminar na mesma posição, isto é, abaixo e à direita. Por exemplo, suponha que durante uma tentativa o espaço vazio realize o seguinte passeio, representado na figura pela seta em azul: Esquerda-Esquerda-Cima-Direita-Cima-Direita-Baixo-baixo. Esse passeio possui, portanto, 8 passos de comprimento, mas como vocês podem verificar, não resultou na configuração desejada.

Todo passeio (e somente) que comece e termine no canto inferior direito é um candidato a solução. Observe, portanto, que a solução deverá necessariamente ser um passeio com um número par de passos. É fácil perceber isso se levarmos em conta que o número de passos para a esquerda deverá ser igual ao número de passos para a direita, da mesma forma, o números de passos para cima deverá ser igual ao número de passos para baixo. Só assim voltaremos ao ponto em que saímos, e obviamente esta exigência resulta em um número par de passos.

Esse é nosso primeiro resultado e vou destacá-lo para utilizarmos futuramente.

Uma solução, se existir, deverá necessariamente possuir um número par de passos.

Uma medida para a organização

Cada passo ou movimento altera a organização do jogo, porém não temos uma medida de organização que possa servir de parâmetro para cada movimento. Por exemplo, dado duas configurações, é difícil dizer qual é a que está mais organizada. Bom, vou propor uma medida e o leitor irá verificar que ela será muito útil para a solução do problema. Chamarei esta medida de medida I.

Primeiramente, vou estabelecer que quando a configuração está o mais organizada possível, isto é, totalmente ordenada, ela possui medida I = 0. Assim, representando a configuração em apenas uma tira de números temos (note que representei o espaço vazio com o número 16):

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Medida I = 0

Toda a vez que um número possui números menores a sua direita, contamos um. Por exemplo, a partir da sequência totalmente ordenada (I=0), invertemos o número 6 com o número 10. A tabela abaixo apresenta esta nova disposição, que por sua vez terá I=7, resultado da soma 4+1+1+1.

1	2	3	4	5	10	7	8	9	6	11	12	13	14	15	16
0	0	0	0	0	4	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0

Medida I = 7

Abaixo da sequência que queremos analisar inclui uma linha suporte. Cada posição da linha suporte, deverá conter a quantidade de números da linha original que são menores do que o que está acima. Note que o número 10 possui 4 números menores do que ele à sua direita, a saber, 7, 8, 9 e 6. Já o número 7, possui apenas 1 número menor que ele posicionado a sua direita, o número 6. Enfim, somando os números da linha suporte obteremos a medida I.

Análise dos movimentos no puzzle 14-15

São quatro os movimentos possíveis no puzzle 14-15. Podemos ir para a esquerda, para a direita, para cima ou para baixo. Como estes movimentos podem alterar a medida I? Vamos começar com o fácil, os movimentos na horizontal. Observe que quando caminhamos para a esquerda ou para a direita, realizaremos a inversão entre dois, e apenas dois vizinhos, de maneira que nossa medida I será acrescida ou diminuída de 1 unidade na nova configuração. Para facilitar, vamos dar um nome a este movimento simples. A partir de agora, quando trocamos de posição dois vizinhos estaremos fazendo uma Inversão.

Um pouco mais difícil é a análise do que ocorre com a medida I como reflexo dos movimentos verticais. Note que qualquer movimento vertical irá trocar de posição dois números que estão distante entre si em 4 unidades, em função da dimensão do tabuleiro. Assim, independente dos valores originais, um movimento vertical, seja para cima ou para baixo, deverá transformar uma configuração da forma

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

numa configuração, por exemplo, da forma

A

B

C

H

E

F

G

D

I

J

K

L

M

N

O

P

a

b

c

?

?

?

?

h

i

j

k

l

m

n

o

p

Cada letra minúscula é o valor suporte para a determinação da medida I. Note que quase todos eles permanecerão o mesmo depois do movimento vertical HD. Assim, o novo valor da medida I depende exclusivamente dos valores representados pelos pontos de interrogação.

Como não conhecemos os valores representados pelas letras maiúsculas, decisão que tomei para deixar o argumento genérico, fica difícil conhecermos estes novos valores. Porém, há um forma; podemos calcular quantas Inversões são necessárias para alcançarmos a segunda configuração a partir da primeira, lembrando que uma Inversão no sentido que discuto aqui é a troca de posição entre dois vizinhos. Acompanhe o desenvolvimento na tabela abaixo.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

A

B

C

E

D

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

A

B

C

E

F

D

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

A

B

C

E

F

G

D

H

I

J

K

L

M

N

O

P

A

B

C

E

F

G

H

D

I

J

K

L

M

N

O

P

A

B

C

E

F

H

G

D

I

J

K

L

M

N

O

P

A

B

C

E

H

F

G

D

I

J

K

L

M

N

O

P

A

B

C

H

E

F

G

D

I

J

K

L

M

N

O

P

Foram necessárias 7 inversões para alcançarmos a segunda configuração. Como cada inversão acresce +1 ou -1 à medida I, um movimento vertical poderá acrescentar:

+1+1+1+1+1+1+1 = +7
+1+1+1+1+1+1-1 = +5
+1+1+1+1+1-1-1 = +3
+1+1+1+1-1-1-1 = +1
+1+1+1-1-1-1-1 = -1
+1+1-1-1-1-1-1 = -3
+1-1-1-1-1-1-1 = -5
-1-1-1-1-1-1-1 = -7

Paridade

Parece que pouco caminhamos para a resolução do problema, porém é apenas aparência, de fato já temos todos os elementos para provar que é impossível resolver o puzzle 14-15.
Sabemos que qualquer movimento horizontal irá alterar a medida I em +1 ou -1 e que qualquer movimento horizontal irá alterar a medida I em -7,-5,-3,-1,1,3,5 ou 7. Então, resumindo, podemos ter certeza de que qualquer movimento no puzzle irá alterar a medida I em um número ímpar, seja positivo ou negativo.

Ora, também sabemos que qualquer solução possível deverá conter um número par de movimentos. Como cada movimento é um número ímpar e par vezes ímpar é um número par, podemos concluir que qualquer solução possível irá alterar a medida I em um número par. Para ressaltar a importância deste resultado, irei emoldurá-lo abaixo:

Qualquer solução possível deverá alterar a medida I em um número par.

O golpe final

A resolução do puzzle 14-15 envolve a transformação da configuração 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-15-14-16 de medida I=1 na configuração 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16 de medida I=0. Como qualquer solução possível altera a medida I em um número par, é impossível resolver o problema.

Então não ganharei dinheiro?

Não, você não ganhará dinheiro algum pois não é possível resolver o problema. Porém, para quem ficou frustrado tenho uma receita infalível para ganhar algum. Basta seguir o procedimento abaixo:

1. De algum jeito faça com que seus amigos tomem conhecimento da insolubilidade do puzzle 14-15. É muito importante que eles não saibam que você sabe que eles sabem disso.
2. Finja que você está se descabelando para resolver o puzzle que apresentarei logo abaixo. O puzzle é muito parecido com o 14-15.
3. Em algum momento eles irão comentar. "Seu burro, isso não tem solução".
4. Diga que tem sim uma solução e que logo você vai descobrir.
5. Ele, no alto de sua arrogância, dirá algo do tipo: "Não tem não, você é muito burro".
6. Ele está pronto! Agora é a sua deixa, aposte com ele que tem sim. Sugiro 10 ou 20 reais, talvez um almoço.
7. Se tudo der certo ele cairá como um patinho e aceitará a aposta.
8. Resolva o problema na frente dele e pegue o dinheiro.
   

Abaixo o puzzle "Resolva! Se puder". O objetivo é corrigir a grafia da frase invertendo as duas últimas letras. A primeira vista parece ser igual ao puzzle 14-15, porém por algum motivo, que desafio o leitor a descobrir, é possível resolvê-lo.

Bom almoço.

A gravidade dá a tacada certa!

O sentimento de encanto e surpresa é prerrogativa dos jovens. Não me refiro aos jovens de idade, mas aos jovens de espírito. Falar que a natureza é bela não passa de um clichê que estamos fartos de ouvir, por outro lado, sentir que ela é bela é um privilégio destes iluminados jovens de espíritos.

Esconda sua face de um bebê e apareça repentinamente com um sorriso. O bebê irá sorrir, talvez gargalhar. Faça de novo e ele sorrirá novamente. Repita a operação quantas vezes quiser. O bebê terá sempre a mesma reação e você perderá o encanto pela brincadeira bem antes dele.

Com o tempo é natural que nossa capacidade de se encantar sofra mutações e adquira novas formas e matizes, se torne mais elaborada, mais sofisticada. Às vezes precisamos viajar longos quilômetros no tempo ou no espaço para alcançar a perspectiva adequada e viver novamente a sensação de encanto pela vida.

Durante a faculdade de matemática conheci o Daniel Jorge, meu colega de classe. Daniel é uma pessoa ímpar, assombrosamente culto, idéias originais misturado com alto grau de erudição. No alto de seus 60 anos de idade consegue ainda se indignar e se encantar com os sabores e dissabores da existência.

Um dia ele me contou uma história sobre quão interessante é a força da gravidade, ação que percebemos todo o dia e está longe de ser surpreendente. Lembro que ele me disse que a história não era de fato dele, estava repetindo as palavras de um grande autor cujo nome infelizmente não consigo lembrar:

— Alexandre — ele disse — suponha uma mesa de sinuca com duas bolas posicionadas à mesma distância de uma das bordas. Uma das bolas é uma bola de sinuca comum, a outra, porém, é uma bola de boliche.

— Ok — disse eu.

— Agora, pegue dois tacos, um com cada mão. Você deverá dar simultaneamente uma tacada em cada uma das bolas.

— Como faço isso?

— Ué, você tem duas mãos, cada uma segura um taco e ao mesmo tempo dá as duas tacadas.

— Hum... certo, mas pra quê?

— Calma, já explico, seu objetivo é dar as tacadas de tal forma que as duas bolas alcancem a borda oposta exatamente ao mesmo tempo.

— Exatamente ao mesmo tempo?

— Sim, exatamente ao mesmo tempo, você acha que consegue?

— Bom, exatamente ao mesmo tempo, acho que não, na verdade sinto que é muito difícil fazer isso. Os instantes de tempo podem ser arbitrariamente pequenos e qualquer imprecisão será detectada...

— É, é provavelmente impossível para você conseguir, ou para qualquer um de nós. Porém a Gravidade consegue!

— Que??!

— Cole as bolas na mesa e vire todo o sistema na posição vertical.

— Não vejo aonde você quer chegar.

— Tenha um pouco de paciência... Agora, suponha que as bolas descolem exatamente ao mesmo tempo. Naturalmente elas irão cair e, como você sabe, encontrarão a borda inferior exatamente ao mesmo tempo.

— Mas... E daí?

— Ora, a gravidade dá a tacada certa! Você não vê?

Bom, termino aqui com um desafio. Surpreendam-se com a força da gravidade, se puderem, é claro.

Yam!

Atendendo a pedidos finalmente desenvolvi e disponibilizei online o jogo Yam. Para jogar basta se cadastrar e jogar. É de graça! Clique aqui para Jogar!

A versão que implementei é aquela comercializada pela Grow que muitos de vocês deverão conhecer. O Yam da Grow utiliza cartelas, lápis e dados reais, além disso pode ser jogado em grupos de pessoas, cada uma preenchendo sua própria cartela. A versão que desenvolvi deve ser jogada individualmente na Web, porém, em contrapardida, estabeleci um sofisticado sistema de ranking para enriquecer a experiência de quem joga.

O Yam é um jogo de dados, cinco precisamente. Alguns consideram o Yam uma espécie de pôquer de dados, provavelmente motivados pelo fato de que no Yam o jogador poderá obter uma Quadra, Um Full-House ou Seguidas, resultados idênticos aos do pôquer. Porém, o Yam não envolve apostas, nem são comparados jogos entre os jogadores. Para jogar bem o Yam e conseguir um boa pontuação é necessário sorte, raciocínio lógico e uma boa dose de estratégia. Jogadores iniciantes dificilmente conseguirão bons scores mesmo com um bom grau de sorte.

Objetivo

O objetivo do Yam é preencher todas as células da tabela e obter o maior número possível de pontos.

Jogada

Uma jogada equivale ao resultado obtido após 3 ou menos lançamentos dos dados seguido do preenchimento de uma célula na tabela. No primeiro lançamento o jogador irá lançar necessariamente os 5 dados. Se o resultado agradar, ele para por aí, preenche uma célula da tabela e a jogada está concluída. Se quiser melhorar o resultado ele separa os dados que não quer mexer (clicando neles) e lança os demais. Novamente, se após o segundo lançamento o resultado ainda não tiver do seu agrado, ele tem sua terceira e última chance.

Tipicamente o jogador irá jogar 3 vezes os dados antes de preencher uma célula, afinal não é fácil obter um bom resultado, tanto que uma jogada de apenas um lançamento recebe um nome e tratamento especial, dizemos que a jogada foi no SECO.

Tabela

A tabela é composta por quatro colunas, Descida, Subida, Desordem e Seco, cada coluna possui 13 células a ser preenchidas pelo jogador (em verde claro na tabela abaixo) e 3 células de totais que serão preenchidas automaticamente pelo jogo (verde escuro). As colunas se diferenciam pela forma como devem ser preenchidas, a coluna Descida deve ser preencida de cima para baixo, a coluna Subida, de baixo para cima. A coluna Desordem, como o próprio nome diz, pode ser preenchida em qualquer ordem.

Finalmente, a coluna Seco, só poderá ser preencida após o primeiro lançamento dos dados, ou seja, o jogador deverá ter obtido o resultado desejado no primeiro lançamento. Se o jogador lançar os dados uma segunda vez, a coluna inteira será desabilitada.

Jogos

Em cada linha da tabela um certo tipo de jogo deverá ser obtido pelo jogador. Se for bem sucedido, o jogador irá ganhar o bônus correspondente ao jogo em questão. Por exemplo, se o jogador obter uma Quadra (quatro dados iguais) na linha Q, deverá marcar a soma dos pontos da quadra mais um bônus de 20 pontos. Isso vale para qualquer uma das quatro colunas. Abaixo, a lista de todos os jogos previstos no Yam:

1	Um	Obter a maior quantidade possível de números 1	Somar os pontos dos dados com número 1
2	Dois	Obter a maior quantidade possível de números 2	Somar os pontos dos dados com número 2
3	Três	Obter a maior quantidade possível de números 3	Somar os pontos dos dados com número 3
4	Quatro	Obter a maior quantidade possível de números 4	Somar os pontos dos dados com número 4
5	Cinco	Obter a maior quantidade possível de números 5	Somar os pontos dos dados com número 5
6	Seis	Obter a maior quantidade possível de números 6	Somar os pontos dos dados com número 6
T	SubTotal		Somar os pontos anteriores. Se o valor for maior ou igual a 60, acrescentar um bônus de 30 pontos.
Q	Quadra	Obter 4 dados iguais	Se obtido, somar os pontos dos dados iguais e acrescentar um bônus de 20 pontos, caso contrário marcar 0
F	Full	Obter uma trinca e uma dupla	Se obtido, somar os pontos de todos os dados e acrescentar um bônus de 30 pontos, caso contrário marcar 0
S-	Seguida Mínima	Obter 1, 2, 3, 4, 5	Se obtido, somar os pontos de todos os dados e acrescentar um bônus de 35 pontos, caso contrário marcar 0
S+	Seguida Máxima	Obter 2, 3, 4, 5, 6	Se obtido, somar os pontos de todos os dados e acrescentar um bônus de 40 pontos, caso contrário marcar 0
-	Mínimo	Somar os pontos dos dados. O resultado deve ser menor do que a célula abaixo (Mínimo).	Somar os pontos de todos os dados. Considerar 0 se o valor for maior do que a coluna abaixo
+	Máximo	Somar os pontos dos dados. O resultado deve ser maior do que a célula acima (Mínimo).	Somar os pontos de todos os dados. Considerar 0 se o valor for menor do que a coluna acima
Y	Yam	Obter 5 dados iguais	Se obtido, somar os pontos de todos os dados e acrescentar um bônus de 50 pontos, caso contrário marcar 0
T	Total		Somar as linhas Q,F,S-S+,-,+,Y
TG	Total Geral		Somar SubTotal com Total

Ranking

Criei um sistema de ranking que privilegia o jogador regular, estrategista, insensível a golpes de sorte. Existe o ranking do dia, o ranking da semana, os melhores resultados e o ranking geral. Para calcular o ranking geral devemos considerar o seguinte critério de pontos:

1º colocado na semana: 8 pontos
2º colocado na semana: 5 pontos
3º colocado na semana: 3 pontos
1º colocado no dia: 1 ponto

Dependendo do número de semanas que você foi primeiro, segundo ou terceiro colocado terá seu score geral acrescido de 8, 5 ou 3 pontos respectivamente. Se você campeão de apenas 1 dia ganhará 1 ponto. Para os propósitos do jogo o primeiro dia da semana é domingo, portanto no próximo domingo o ranking da semana estará vazio, aproveitem! O ranking de melhores resultados não é utilizado para o ranking geral. Esta decisão foi tomada na intenção de diminuir o componente sorte do ranking geral.

O que é um bom resultado?

Adianto que um resultado superior a 1000 já é considerado bom. Se você conseguir mais do que 1100 já pode pensar em ser campeão do dia. Se conseguir mais do que 1200 tem muita chance de ser o campeão da semana. Se ultrapassar os 1300, bom já estamos lidando com profissionais. Só vi um resultado maior do que 1400 e me pergunto porque o fulano não jogou na megasena. Mais que 1500? Nunca vi!

The Eisenmann Number Project

O matemático húngaro Paul Erdős (1913 - 1996) foi um dos mais produtivos matemáticos de todos os tempos. Como todo bom gênio matemático, possui uma lista infindável de excentricidades: acredita-se que era assexuado e é provável que não tenha tido qualquer contato sexual em toda sua vida; chamava as crianças de épsilons (letra grega tipicamente utilizada para representar quantidades infinitamente pequenas); tomava anfetaminas para manter sua produtividade matemática em alto índice; não dava absoluta atenção a dinheiro e livrava-se dele oferecendo recompensas a seus alunos para motivá-los a resolver algum problema matemático.

Erdős envolveu-se em muitas áreas da matemática, porém suas maiores contribuições concentravam em análise combinatória, teoria dos grafos e teoria dos números. Gostava de resolver os problemas de forma simples e elegante, valorizando a estética da solução. Ao contrário do que o perfil do tipo gênio distraído possa sugerir, Erdős foi um matemático excepcionalmente colaborativo, raramente publicava sozinho, tornando a matemática de fato uma atividade social.

Em homenagem a Paul Erdős a comunidade matemática inventou um pitoresco conceito que ajuda a mostrar quão colaborativo ele foi, é o chamado Número de Erdős. Em linhas gerais a coisa funciona assim: Uma pessoa possui o número de Erdős igual a 1 se colaborou com o próprio Paul Erdős em um artigo matemático. Se alguém colaborou com alguém que colaborou com Paul Erdős (e não colaborou com o próprio, é claro) ganha número de Erdős igual a 2. A única pessoa que possui número de Erdős igual a zero é o próprio Paul Erdős. Os detalhes podem ser verificados na página  Erdos Number Project.

Mesmo depois da morte de Erdős em 1996 a rede dos números de Erdős não para de crescer, porém, como o leitor mais astuto irá perceber, é impossível que surja um novo nome entre aqueles que possuem número de Erdős 1, portanto esta lista de 511 não aumentará jamais. No momento em que todos essas 511 pessoas falecerem não haverá chance da lista de 8162 nomes dos que possuem número de Erdős 2 aumentar. O grafo formado pelos números de Erdős é muito estudado pela comunidade matemática e hoje em dia conta com uma enorme quantidade de vértices e arestas.

A idéia dos números de Erdős alçou vôo e atingou novas cearas, algumas tão improváveis quanto Holywood. Três estudantes da Albright College inventaram o jogo Six Degree of Kevin Bacon e a idéia é calcular a distância de um ator ou atriz qualquer até o ator Kevin Bacon, sim aquele mesmo de Footlose, alguém lembra? Funciona assim: qualquer ator que tenha participado de um filme que Bacon também tenha participado recebe o número 1. Se um ator nunca foi colega de Bacon em nenhum filme, mas foi um colega de alguém que foi colega de Bacon, recebe o número 2 e assim por diante. Esses números foram batizados com Números de Bacon. Assim como um número de Bacon mede a distância de um ator até Kevin Bacon, um número de Erdős mede a distância de um matemático até Paul Erdős.

Na onda desses números algumas pessoas, entre elas Simon Singh (autor de O Último Teorema de Fermat, O Livro do Código e Big Bang), ajudaram a popularizar a idéia dos Números de Erdős-Bacon. Um número Erdős-Bacon de uma pessoa é definido como a soma de seu número de Erdős com seu número de Bacon. Esses novos números não teriam tanta graça se não houvesse pessoas que possuam os dois números, o que parece ser o caso num primeiro momento. Porém, surpreendentemente Carl Sagan, Stephen Hawking e Richard Feynmann, só para citar os mais famosos, figuram nesta lista. Mais surpreendentemente ainda é o fato de que há sim no mínimo uma mulher bonita, a atriz Danica McKellar, incluida na lista. Ela possui número de Erdős 4, número de Bacon 2 e, naturalmente número de Erdős-Bacon igual a 6.

Os jogadores de Go também tem seu número, é o número de Shusaku que mede a distância de um jogador até o mestre do Go, Honinbo Shusaku. Os critérios para calcular o número de Shusaku são parecidos aos que já vimos para os outros dois números e o leitor poderá ver na página da wikipedia referente ao Número de Shusaku.

Os números de Eisenmann

Ao contrário de Paul Erdős que não dá atenção ao dinheiro, de Kevin Bacon que já tem muito dinheiro (pelo menos eu acho), e de Honinbo Shusaku que joga Go como ninguém, eu, é, eu mesmo, dou sim atenção ao dinheiro, não tenho muito, e não consigo ganhar de ninguém no Go. Para piorar minha situação estou morando em Manaus, a milhares de quilômetros de São Paulo, minha cidade natal, longe de familiares e amigos.

Porém, não vou ficar me lamentando e para dar um fim nesses "problemas" vou seguir a comunidade matemática e inventar meu próprio número, o número de Eisenmann. Para calcular seu número de Eisenmann observe as regras abaixo:

• Alexandre L K Eisenmann possui número de Eisenmann 0.
  
• Aqueles que presentearam Alexandre com uma cédula monetária válida brasileira possuem número de Eisenmann 1
  
• Aqueles que presentaram alguém com número de Eisenmann N, possuem número de Eisenmann N+1

Como vocês viram, a regra é muito simples, e tem tudo para virar o último grito da moda. Para incentivar o encontro das pessoas defino aqui uma cláusula importante: É necessário que as notas sejam entregues pessoalmente, não vale depósito em conta ou qualquer outro tipo de trâmite. Sim, quem quiser ganhar o número de Eisenmann 1 terá que vir a Manaus e entregar pessoalmente sua nota, ou esperar que eu vá até São Paulo ou qualquer outro lugar para me encontrar. Por outro lado, vocês não precisam dar a nota pra mim. Para participar basta entregar sua nota para qualquer outra pessoa que possua número de Eisenmann, em troca você ganha um número de Eisenmann e seu nome aparecerá neste Blog com direito a um link direto a sua própria página.

Ainda não criei uma infraestrutura tecnológica com a estatura que os números de Eisenmann merecem, porém prometo fazê-lo assim que a idéia ganhar corpo. Por hora estabeleci critérios muito simples para garantir o bom funcionamento do processo. Qualquer um que quiser obter um número de Eisenmann deverá seguir os passos abaixo:

1. Confira na lista oficial e encontre alguém, digamos o João, que possui um número de Eisenmann, digamos N.
   
2. Escolha uma cédula (recomendo uma nota de 1 real), ANOTE seu número de série e dê para o João.
   
3. Mande um email para a conta do projeto The Eisenmann Number Project com o seguinte texto: "Olá, meu nome é <nome completo> e entreguei a nota D6704067147C para alguém que possui número de Eisenmann na cidade de <nome da cidade>. Por favor inclua este link ao lado de meu nome aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa.com.br". Note que será possível acompanhar a trajetória de uma nota, outro projeto bastante interessante.
   
   
4. João, por sua vez, ao receber a cédula DEVERÁ NECESSARIAMENTE enviar um email para a conta do projeto The Eisenmann Number Project com o texto: "Recebi a nota D6704067147C, por favor, atualize as informações necessárias".
   
5. De posse destas informações o The Eisenmann Number Project incluirá seu nome no grafo e na lista.
   

Essa coleção de regras presume algo que considero importante. Deverá haver algum grau de amizade ou confiança na transação pois quem dá o dinheiro quer ter certeza de que o outro atualizará as informações. Acredito que esta rede social crescerá lenta, porém constante a medida que as pessoas simpatizarem com a idéia. Como ninguém deu ainda uma nota pra mim a lista das pessoas com número de Eisenmann só possui um nome, o meu próprio. Confira:

D	Nome/link/Cidade/Data/Cédula/Ligação	Número de Eisenmann	Índice de Becker
1	Alexandre Luís Kundrát Eisenmann http://www.humanomatica.blogspot.com	0	∞
2	Fabiana Cardeal de Godoy Eisenmann Manaus 28/11/2007 B0659072987A Entregou nota para o ID=1	1	2,000000
3	Hamilton Jacques Cardeal de Godoy http://hamiltongodoy.blogspot.com/ Manaus 28/11/2007 B0661005084A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000
4	Cassiano Otavio Becker Manaus 29/11/2007 B0336008742A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000
5	Rafael Ferreira Barcelos http://www.linkedin.com/in/rbarcelos Manaus 03/12/2007 B0662061838A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000
6	Paulo Sérgio Werneck Coelho Filho Manaus 06/12/2007 A9407078925A Entregou nota para o ID=2	2	0,000000
7	Maria Suely Ramos dos Santos Manaus 08/12/2007 B0416018283A Entregou nota para o ID=2	2	0,000000
8	Andrea Lauriello Eisenmann Bento Manaus 11/02/2008 B2459011171A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000
9	Regina Kundrát Eisenmann Manaus 15/02/2008 A9690083133A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000
10	José Henrique Nogueira Eisenmann Manaus 15/02/2008 B2388085850A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000
11	Ricardo Kundrát Eisenmann http://www.orkut.com/ Profile.aspx? uid=4398866855055886232 São Paulo 06/03/2008 A1504016200A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000

A cada novo nome a lista será atualizada. Não apresentarei endereço de email porém manterei nos cadastros o número de cédula utilizada e as informações enviadas. No futuro será possível acompanhar a trajetória de uma nota individual nas suas relações com a rede dos números de Eisenmann.


Índice de Becker

O índice de Becker foi projetado e proposto por Cassiano Otavio Becker, ele próprio um número de Eisenmann 1. Para calcular o índice de Becker devemos dividir o número de pessoas que você agregou para a rede pelo seu número de Eisenmann. Por exemplo, suponha alguém que possui número de Eisenmann igual a 2 e que recebeu cédulas de 7 outras pessoas. Essa pessoa possui índice de Becker igual a 3,500000.

Formalmente, considere a rede dos números de Eisenmann um grafo. Cada vértice do grafo é uma pessoa com número de Eisenmann, cada aresta liga uma pessoa àquela que recebeu sua cédula. O índice de  Becker de um vértice (de uma pessoa) é calculado dividindo-se seu grau menos 1 (grau do vértice é um conceito formal relacionado a grafos) por seu número de Eisenmann. A idéia é incentivar as pessoas a contribuirem com o crescimento da própria rede dos números de Eisenmann.


FAQ

Porque eu entraria neste projeto?
Além de contribuir para a matemática e a ciência, você poderá ganhar dinheiro, afinal outros poderão lhe lar cédulas de presente. Além disso se a moda pega, seu nome constará da lista. Lembre-se que a moda hoje é ser meio nerd (Bill Gates, Steve Jobs, Richard Dawkins, Danica McKellar, etc...) e não há melhor forma de provar sua nerdabilidade do que este tipo de projeto. Ser nerd é cool! não se esqueça disso. Se não acredita leia este artigo da revista Superinteressante.

O projeto é uma espécie de pirâmide onde eu perderei dinheiro e alguém ganhará?
É claro que não, as regras estão claras. Note que mesmo que o projeto seja um sucesso posso ganhar apenas R$ 1,00. Pensando de uma maneira mercantilista, o projeto também é viável, afinal você pode ceder uma nota para entrar no projeto e receber várias de outros que estão ingressando, porém, e isso é importante, o dinheiro que você recebeu não "flui" para nenhuma outra pessoa, ele fica com você.

O que devo fazer com o dinheiro que ganhar?
Faça o que quiser. No meu caso porém, estou pensando em fazer algo socialmente responsável, para usar um termo da moda.

Se já possuo um número de Eisenmann, digamos 20, e entregar uma nota para alguém de número 3, o que acontece?
Seu número de Eisenmann é atualizado para 4 e todas as pessoas das quais você recebeu cédulas terão seus números de Eisenmann atualizados, recursivamente.

Se já possuo um número de Eisenmann, digamos 3, e entregar uma nota para alguém de número 20, o que acontece?
Nada.

Que tipo de cédula devo utilizar?
Sugiro utilizar notas de 1 real, afinal sai mais barato, porém o projeto aceita qualquer tipo de nota que tenha um número de série válido.

Como devo referenciar o projeto em trabalhos acadêmicos?
Por hora, basta citar nosso nome "The Eisenmann Number Project", no momento que tiver um endereço específico com mais informações atualizo o blog.

Por que utilizar um nome em inglês para o projeto, afinal você é brasileiro?
Pensei muito sobre isso e realmente queria colocar o nome em português, mas ao final escolhi o inglês por uma questão de similaridade com os outros projetos do gênero, The Erdős Number Project ou The Bacon Number Project.

O que fazer se a pessoa que recebeu meu dinheiro não mandar o email?
Ligue para ela e insista, caso contrário, seu nome não aparecerá na lista e você perdeu seu dinheiro.

Por que não gasta seu tempo calculando os números de Piovani, pontuando aqueles que namoraram a atriz num formato parecido ao proposto?
Bom... a idéia é boa mas fiquei relutante em expor a vida de outras pessoas neste espaço. Além disso não é tão nerd, e, como vocês sabem, ser nerd é Chique!