Paradoxo dos Aniversários

Experimente perguntar a seus colegas de trabalho qual é a chance de que duas pessoas ao menos compartilhem o mesmo dia de aniversario entre as 23 pessoas de um jogo de futebol (11 de cada lado mais o juiz).

As respostas irão variar, é claro, mas entre não iniciados na arte matemática, elas gravitarão em torno de "baixa", "muito baixa" e "pequena".  Alguns terão a oportunidade de mostrar o desinteresse típico a assuntos quantitativos dando de ombros enquanto outros sorrateiramente caminharão para o cafezinho disfarçando certa fobia que carregam desde os tempos de escola.

Porém alguns estarão lá, abertos a sua pergunta, ansiosos por declarar sua opinião, esses poderão ser salvos. Para estes, mantenha a tez serena, a voz baixa porém firme, e no tom mais arrogante que conseguir professe casualmente: "Bom, as chances são maiores do que sair cara no cara ou coroa". 

Nesse momento você ainda perderá mais algumas almas. Os motivos são diversos e desconhecidos em sua totalidade, variam desde o total não entendimento do problema até a aversão ao convite para uma digressão quantitativa. Espere neste ponto ouvir frases como "Não me interesso muito por futebol", "Sempre fui mal em matemática" ou "Viu o jogo ontem?"

Por outro lado se ouvir frases como "Impossível!", "Você esta errado" ou "Claro que não, as chances são 1/365" tenha certeza que está lidando com um público de maior sofisticação quantitativa. Neste caso é sua hora de brilhar, terá enfim a oportunidade de explicar porque as chances são tal altas assim, maiores do que 50%.

O que confunde as pessoas é a tendência de imaginar este problema sob o ponto de vista pessoal, isto é, as pessoas imaginam que não é fácil encontrar alguém com a mesma data de aniversario delas próprias, portanto a ocorrência deste fenômeno deve ser bastante baixa. 

Porém, esta não é a perspectiva correta, lembre-se que o problema não é sobre as chances de encontrar alguém com o mesmo aniversário do que você num grupo de 23 pessoas, o problema é sobre encontrar colisões de aniversários entre todas as duplas possíveis de se formar com 23 pessoas. 

Enfim, num grupo de 23 existem 253 duplas (combinação 23, 2 a 2). Para que não ocorram conflitos de aniversario, nenhuma dupla devera compartilhar as mesmas datas. A probabilidade de que uma dupla não compartilhe aniversários é alta, exatamente igual a 364/365.

Para ver isso, note que as chances de jogarmos 2 dados e não obtermos dois números iguais é 5/6. Pode parecer trivial para alguns, mas confiem em mim, muitos irão desistir da leitura nesse ponto (como meu irmão por exemplo). Novamente, independente do resultado do primeiro dado, o segundo não poderá ser igual, então as chances são 5/6. Analogamente as chances de que uma dupla não compartilhe aniversário é 364/365. (ignoremos anos bissextos por favor)

Portanto, as chances de que não hajam compartilhamento de aniversários em nenhuma das 253 duplas é igual a:

364/365 x 364/365 x 364/365 x … x 364/365 (253 vezes)

isto é igual a (364/365)^253

Inversamente, as chances de que haja ao menos uma ocorrência de compartilhamento de aniversario é exatamente 1-(364/365)^253, o que resulta em algo um pouco maior do que 50%

Em teoria, estas chances são ainda maiores do que encontrar duas pessoas com o mesmo primeiro nome, afinal o tamanho do conjunto de nomes disponíveis é bem maior do que 365 ocasionando em menos colisões de nomes em potencial. (o que não é bem verdade, pois os nomes da moda são escolhidos com muito maior frequência do que nomes mais raros) 

Para terminar sua exposição, inquira a audiência (se é que ainda sobrou alguém) para saber se há alguma colisão de aniversários insuspeitos até o momento. Se tiver essa sorte passará a ser respeitado como um novo guru do escritório. Apesar de não provar nada, esse simples fato, ao invés das contas anteriores, parece dar certeza as pessoas de que você estava de fato certo afinal.

Como desafio final a seus colegas pergunte quais são as chances de encontrar, no mesmo grupo, duas pessoas que compartilhem o mesmo mês de aniversário. Sua audiência, agora já treinada, irá responder com segurança que as chances são altas ou bem altas, afinal a chance de colisão é muito mais alta agora. Os mais matematicamente inclinados irão até rabiscar 1-(11/12)ˆ66, porém eles estarão novamente enganados! As chances são 100%, ou seja não há como não haver colisões de meses de aniversário entre um grupo maior do que 12 pessoas. Deixo ao leitor a tentativa de encontrar uma explicação para este fato.

A Matemática do Playlist

Meu irmão ligou dizendo que já estava perto e que eu deveria descer para ganhar tempo. Era sexta-feira, fim do dia e estávamos nos preparando para irmos ao litoral. Logo ao entrar no carro ele pediu para que eu colocar o novo CD que ele tinha comprado. Tinha 100 músicas e deveria durar a viagem toda e ainda sobrar.

Ele sugeriu que eu selecionasse o modo "randômico", porém frustado, fez o seguinte comentário:

- O randômico desse rádio tá quebrado!
- Como assim, quebrado - disse eu.
- Bom, você vai ver, daqui a pouco vai repetir uma música.
- Ué, e daí, o randômico não garante que as músicas não vão repetir. Já tentou o modo "sequencial"? -respondi irônico.
- Cara, tem 100 músicas no CD, toda a vez que vou pro escritório acabo ouvindo uma música repetida no caminho.

Fiquei intrigado com o comentário, e ainda mais intrigado com o gosto musical do meu irmão, mas afinal o carro era dele. Como fuga para o inferno musical a que fui exposto, meu cérebro logo encontrou consolo nas abstrações platônicas matemáticas, uma higiene mental.

No íntimo eu duvidava que o modo randômico estava quebrado uma vez que é tão fácil implementá-lo computacionalmente. Tentei modelar o problema de maneira a poder tratá-lo, assumi que o modo randômico no caso é equivalente a jogar um dado de 100 lados toda a vez para definir a música que será tocada. É claro que em algum momento repetições irão acontecer, mas a pergunta era, quando?

Matematicamente o que eu buscava era responder qual era o número esperado de músicas a ouvir até que haja a primeira repetição. Na estatística esse conceito tem um nome curioso, se chama "Esperança".

O conceito de Esperança tem um relação forte com a média, por exemplo, suponha que meu irmão anotasse quantas músicas escutou até a primeira repetição todas as vezes que foi ao escritório (assumindo que haja sempre tempo para que alguma repetição ocorra, o que não é verdade). A média deste valor é próximo ao valor esperado que estamos procurando.

Ele poderia tabular os valores conforme a tabela abaixo. Suponha que tenha ouvido o CD 1000 vezes, então a tabela seria algo assim.

Formalmente esse valor deverá ser próximo a expressão abaixo onde P(x) significa Probabilidade de que x ocorra:

1 x P(1 música sem repetição) + 2 x P(2 músicas sem repetição) + ... + 100 x P(100 músicas sem repetição)

O leitor paciente irá constatar que calcular a média aritmética de quantas músicas até a primeira repetição da tabela é próximo ao conceito platônico de "Esperança" dado em função de probabilidades. A pergunta que resta é como calcular as probabilidades. Para ajudar o raciocínio vamos calcular a probabilidade de  ouvirmos exatamente 4 músicas não repetidas, isto é, a repetição ocorrerá necessariamente na quinta música.

O que é equivalente a:

Convertendo os valores para uma forma geral teremos:

onde n = 100 e k = 4

Enfim, reconstruindo a fórmula acima em função dos resultados obtidos acima teremos:

Não consegui ainda uma forma fechada, ou seja, não consegui me livrar do somatório para a fórmula, o que significa que vou precisar usar arsenal computacional. Felizmente o leitor poderá contar com a widget que eu criei para calcular o número esperado de músicas em função do número total do CD.


Por exemplo, meu irmão ficou surpreso em saber que para seu CD esse número é 12, isto é, considerando uma média de 3 minutos para cada música, é esperado que ocorra a primeira repetição 36 minutos depois.

De fato, com o trânsito de São Paulo sexta-feira à noite, ouvimos a primeira repetição antes de chegarmos na imigrantes, onde fui acordado do meu transe matemático com um grito desproporcionalmente estridente do meu irmão:

- AhÁ, eu te disse, o randômico tá quebrado!!!!

O Lamento de um Matemático

Navegando a esmo pela internet tropeçei em um brilhante ensaio sobre o estado da educação matemática nos Estados Unidos. Escrito pelo professor de matemática Paul Lockhart, o Lamento de um Matemático (A Mathematician's Lament) é um texto poético, inspirador, mordaz e iconoclasta. O autor posiciona a matemática como arte ao lado da música e da pintura e descreve como o sistema educacional americano contribui para a total esterilização desta arte ancestral na educação. Lockhart cita o matemático inglês G H Hardy para ilustrar sua posição neste belíssimo trecho:

Um matemático, como um pintor ou poeta, é um criador de padrões. Se seus padrões são mais permanentes, é porque são feitos com idéias. (A mathematician, like a painter or poet, is a maker of patterns. If his patterns are more permanent than theirs, it is because they are made with ideas.)

O autor recorre ao dialogo à moda de Galileu Galilei para enriquecer seu lamento, Simplicio e Salviati voltam a debater sobre a maneira como a matemática deve ser ensinada dando cor ao argumento central de que o sistema educacional transforma esta arte numa enfadonha e asséptica disciplina onde o aluno é treinado (em oposto a ensinado) a memorizar fórmulas e outros procedimentos.

Vibrei quando o autor tocou no assunto do que chamei “A ditatura da utilidade” neste post aqui. As motivações que levaram as criações matemáticas são raramente de fundo prático mas sim de caráter estético. Em busca da beleza, harmonia, simetria e principalmente simplicidade os matemáticos e matemáticas do passado e de hoje compõem suas idéias e teoremas. Eventualmente algumas verdades encontram utilidade no cotidiano, mas isso é apenas um efeito colateral que pouco contribuiu ou contribui para a criação desta ciência.

As idéias que afloraram deste processo criativo são muito mais importantes do que o resultado em si. Fazer matemática é mais importante do que saber matemática. No processo de construção há espaço para criatividade, erros e acerto, arte e engenharia, preconceito, inveja, traição, altruísmo, louvor, soberba, alegria, ganância, vaidade, etc, enfim todas as facetas da experiência humana. O resultado pronto, quando devidamente limpo e esterilizado corre o risco de apresentar só um dos aspectos desta palheta, o pedantismo, que amedronta e afugenta os alunos.

Como o professor poderá guiar o aluno em criar matemática se o mesmo nunca criou, nunca desenvolveu intuição suficiente que só vêm da prática? Muitos irão argumentar que os alunos precisam usar matemática e não criar. Eu discordo, quantos de nós hoje usamos matemática? Virtualmente ninguém, ou seja, não aprendemos nada do que fomos ensinado. O argumento que usamos matemática quando fazemos contas é vazio, afinal como Lockhart sugere, fazer contas com as quatro operações está tão longe da arte matemática quanto pintar por números (Paint-by-numbers) está longe da arte da pintura.

Acredito que o entusiasmo transmitido pelo professor é poderosíssimo no processo de aprendizagem. Um professor entusiasmado provoca na cabeça do aluno algumas dúvidas de estupendo efeito pedagógico: "Porque esse cara está tão entusiasmado com isso?", "O que ele vê que eu não vejo?". Como um professor pode se entusiasmar com algo que ele nunca viveu, que ele nunca participou.

A crítica de Lockhart é para o sistema americano, mas o mesmo é válido para o sistema brasileiro, variando em nuances. Em especial acho o problema do pedantismo no Brasil é mais grave do que nos EUA. A elite brasileira ainda acha bonito ser pedante. Concluo isso baseado em livros didáticos de matemática para o curso superior. Os livros escritos por americanos são fáceis de ler, notação simples, econômicos em definições e partes enfadonhas. Os livros escritos por brasileiros são em geral herméticos, chatos e de difícil entendimento.

Outro problema da educação matemática brasileira é a moda da contextualização. Muitos professores em nome da modernização procuram encontrar alguma aplicação prática para o assunto abordado, mesmo quando o mesmo não possui aplicação prática real. Esse esforço acaba poluindo a literatura matemática com exemplos artificiais que só geram desconfiança por parte do aluno. Muitos professores esquecem que o contexto no qual o tal conteúdo foi criado foi muitas vezes à busca por beleza, elegância, critérios que são automaticamente desqualificados como motivador interessante.

Enfim, lendo o texto de Lockhart encontrei eco para muitos de meus pensamentos sobre a educação matemática. Estou curioso em saber o que outros pensam sobre o assunto e gostaria que o leitor compartilhasse sua opinião sobre a situação da educação matemática no Brasil.

A Revolução dos Nerds

Toda criança sonha com o "que vai ser quando crescer". No meu tempo a resposta era óbvia, queria ser astronauta. Nasci em 73, 4 anos após o primeiro homem pousar na lua, portanto é compreensível que eu e meus amiguinhos estivéssemos apenas refletindo o que a mídia bombardeou nos adultos da época, nossos pais e tios. 

Ser astronauta naquela época era tão difícil quanto ser astronauta hoje e aqueles que levaram o devaneio da infância até a adolescência e juventude só se frustraram (menos um, o Marcos Pontes, o primeiro... e único astronauta brasileiro http://pt.wikipedia.org/wiki/Marcos_Pontes)

Sei de um caso curioso, de um primo meu, o Matheus, agora adolescente, que inteligentemente adotou uma estratégia totalmente diferente e, diga-se de passagem, vencedora. Quando inquerido há uns 10 anos sobre a pergunta, respondeu no mesmo momento: "Quero ser adulto". Bom Matheus, parabéns! Você está prestes a conquistar seu sonho de infância, enfim já é quase um adulto!

Hoje me pergunto o que as crianças querem ser quando crescer. Minha filha tem apenas 9 meses, portanto terei que esperar algum tempo para saber. De qualquer forma, aposto que não vai ser astronauta, afinal, os tempos são outros. Para ajudar as crianças de hoje fiz uma exaustiva pesquisa no google atrás das melhores profissões possíveis e, quem diria, encontrei o que queria. Compartilho com vocês a reportagem do Wall Street Journal sobre as melhores e piores profissões http://online.wsj.com/article_email/SB123119236117055127-lMyQjAxMDI5MzAxNjEwOTYyWj.html.

Deu a lógica afinal, a melhor profissão possível é o futuro sonho de consumo de toda criança, ser Matemático. O incrível é que as profissões seguintes também são altamente matemáticas: Atuário, Estatístico, Biólogo (????? ok... biólogo não), Engenheiro de Software e Analista de Sistemas Computacionais. Depois de Bill Gates, Steve Jobs e o casal andrógino do Google, parece que a revolução dos nerds está realmente acontecendo. 

Para manter a simetria, informo que a pesquisa aponta a profissão de Lenhador como a pior. Na onda do politicamente correto, dificilmente derrubar árvores será bem visto por alguém. De qualquer forma, o ponto alto da reportagem é a ilustração que reproduzo aqui. Apesar de ser a melhor profissão o matemático ainda não perdeu seu estereótipo característico: Nerd, gravata borboleta, perdido em suas abstrações. 

Aos poucos a matemática vem ressurgindo como uma profissão interessante. Alicerce das ciências e do desenvolvimento tecnológico, a matemática é muitas vezes considerada prioridade por dirigentes com política educacional consistente. Aumentar o interesse das crianças por matemática parece ter relação com o futuro desenvolvimento do país. Enfim, cedo ou tarde o estereótipo ao lado irá mudar, em pouco tempo você verá uma comédia americana focada no público adolescente onde o quarterback do time da escola, além de conquistar a chefe de torcida, é também bom em matemática. http://blog.estadao.com.br/blog/link/?title=o_poder_de_atracao_dos_nerds&more=1&c=1&tb=1&pb=1 

De São Paulo para a Nova Zelândia

Partindo de São Paulo de avião, qual é a capital brasileira que devemos sobrevoar se desejarmos ir para Wellington, capital da Nova Zelândia e cidade onde estou morando, em linha reta no menor caminho possível?

Pense um pouco no assunto sem continuar a leitura e procure tentar visualizar o globo terrestre, o Brasil, a Nova Zelândia, e o caminho entre estas duas cidades. Se não souber onde ficam esses lugares, pare tudo o que está fazendo e pesquise, afinal não custa nada.

Curiosamente, o caminho mais curto, que calculei com a ajuda do Google Maps, passa exatamente em cima de outra capital brasileira que desafio o leitor a descobrir.

Este caminho mais curto não é uma reta, mas uma curva que acompanha a superfície da Terra, tipicamente chamada de Geodésica. Na realidade, no mundo real, dificilmente uma reta, no sentido euclidiano, será o caminho mais curto para quaisquer dois pontos. Até mesmo o caminho para objetos bastante próximos são, na realidade, curvas.

Assim, a geometria euclidiana (aquela que aprendemos na escola), é um domínio puramente abstrato e platônico e dificilmente encontra reflexo no nosso mundo. Por outro lado, ela é uma excelente aproximação para grande parte de nosso contato cotidiano com a geometria.

Voltando a pergunta proposta, qual é a capital brasileira que está exatamente no caminho mais curto entre São Paulo - Wellington. A resposta é Porto Alegre e o leitor pode acompanhar o caminho no mapa que coloquei abaixo. Se quiser chegar até Wellington pegue o mouse e vá arrastando. Por incrível que parece essa curva traçada em vermelho é o caminho mais curto entre essas duas cidades.

Protocolo Isento de Inveja

Realizar partilhas entre irmãos é sempre problemático para os pais. Invariavelmente os envolvidos irão reclamar que os outros receberam uma parcela maior do bolo do que eles próprios. No final, sempre alguém sente inveja de alguém.

Por outro lado, pais experientes sabem que quando têm apenas dois filhos, é sempre possível definir um conjunto de regras que garanta uma escolha justa. É o famoso "eu corto, você escolhe". Um dos filhos corta o bolo, enquanto o outro escolhe o primeiro pedaço.

Observe que nenhum pode sentir inveja do outro (pelo menos idealmente). O filho que cortou o bolo tem certeza de que dividiu o bolo pela metade, enquanto o outro também não pode sentir inveja pois escolheu o primeiro pedaço.

Este procedimento tem até nome científico, é o Protocolo Isento de Inveja. Se seguirmos um protocolo isento de inveja podemos garantir que cada participante da partilha receba ao menos 50 por cento (para 2 participantes) do bolo em sua própria media. Em outras palavras o protocolo isento de inveja garante que todos os envolvidos pensem que escolheram um dos maiores pedaços.

Até aqui, nenhuma novidade, todos conhecemos este procedimento ancestral. A novidade ocorre quando tentamos resolver o problema para famílias com quantidades de crianças diferente de dois. A pergunta afinal é, existe um protocolo isento de inveja para n irmãos.

Protocolo do filho único

Bom, matemáticos adoram uma observação óbvia, então defino aqui o protocolo do filho único, que também é isento de inveja. Podemos explicá-lo mais ou menos assim: "eu não corto, e escolho o bolo todo". Note que o procedimento garante que a criança não sinta inveja dela mesma, correto? Enfim, o protocolo do filho único é um protocolo isento de inveja para n=1 irmãos.

Protocolo isento de inveja para 3 irmãos.

Agora vem a novidade. Incrivelmente, existe um protocolo isento de inveja para 3 irmãos, e vou procurar descrevê-lo abaixo. Chamarei os irmãos de Paulo, Ricardo e Eduardo. Na realidade escolhi os nomes de meus irmãos reais na esperança de cativá-los para um experimento. Como todos eles trabalham pouco e ganham muito tenho certeza de que dispõem de um tempo para a ciência:

1. Paulo corta o bolo em 3 pedaços que considera iguais.
2. Ricardo observa os pedaços e apara o que considerar maior, deixando o naco à parte.
3. Eduardo então escolhe um dos 3 pedaços principais, seguido de Ricardo e Paulo. Há um porém, se Eduardo não escolheu o pedaço que foi cortado (não o naco, o pedaço cortado), Ricardo deverá escolhê-lo. Quem pegou o pedaço cortado será chamado de X e o outro será chamado de Y. Note que X e Y serão Ricardo ou Eduardo dependendo desta escolha.
   
4. Agora vamos ao naco. Y corta o naco em 3 pedaços que considera iguais.
5. X escolhe o primeiro pedaço do naco, depois Paulo, depois Y.

Pais cuidadosos deverão garantir que o procedimento acima é realmente livre de inveja. Para ajudá-los listo algumas observações.

• Paulo não pode sentir inveja de ninguém, afinal dividiu o bolo em três partes que considera iguais e ficará com certeza com uma delas. De quebra, ganhará um pedaço do naco.
• Ricardo não pode sentir inveja pois tem o direito de acertar a escolha que Eduardo fará aparando o pedaço que eventualmente considerar maior. Também terá o direito da primeira ou segunda escolha na divisão do naco.
  
• Eduardo também não pode sentir inveja pode será o primeiro a escolher um dos pedaços depois que Ricardo aparar um pedaço. Além disso, se escolher o pedaço não aparado definirá a forma que o naco é dividido. Se não escolher o pedaço aparado, será o primeiro a escolher um pedaço do naco.
  
  

Apesar de mais complicado, o procedimento é válido é garante uma partilha livre de inveja. Para famílias mais numerosas, com mais de três filhos é ainda possível definir um protocolo livre de inveja como podemos verificar pelo artigo de Steven J. Brams e Alan D.Taylor chamado An Envy-Free Cake Division Protolo (Uma divisão de bolo livre de inveja). Apesar do nome, o artigo é sério e de fato estabelece que sempre é possível definir o protocolo para qualquer número de participantes.

Protocolo do irmão mais velho.

Como primogênito, há muito tempo defini um protocolo ótimo e bastante aplicável para os interesses do filho mais velho quando o assunto é a divisão do bolo. O protocolo do irmão mais velho pode ser definido com a frase: "eu corto, eu mesmo escolho". Ao contrário do protocolo isento de inveja, o protocolo do irmão mais velho visa atender aos interesses do filho mais velho.

Muitos de vocês se enganam se acham que a estratégia ótima a seguir para o filho mais velho é pegar 100% do bolo para si mesmo e deixar 0% para os demais irmãos. Neste caso, os irmãos mais novos retaliariam com choro o que chamaria a atenção dois pais que interviriam e aplicariam um protocolo muito mais injusto na perspectiva do filho mais velho: "os pais escolhem e dão para cada filho o que acham justo".

A arte de perseverar e maximizar os ganhos seguindo o protocolo do irmão mais velho é pegar o maior pedaço possível sem que os irmãos chorem ou adotem quaisquer outras formas de represálias. Observe que os irmão mais novos, mesmo pegando uma parcela menor do que 1/n podem optar por não chorar e se contentar com este pedaço. Chorar até que os pais tomem uma atitude tem seu custo em estresse e investidas a posteriori de um irmão mais velho enfurecido.

Se puxar bem pela memória, o leitor irá lembrar alguma cena de desenho animado onde um personagem corta um bolo em uma pequena fatia na intenção de partilhá-lo com o outro personagem. Porém, inesperadamente, o mesmo personagem que cortou a fatia devora o bolo todo deixando a pequena fatia para outro personagem. Temos aqui a mais pura aplicação do protocolo do filho mais velho.

O Problema dos Piratas

Para terminar, gostaria de deixar para o leitor um desafio muito interessante, cuja resposta é a a busca de uma estratégia ótima seguindo uma espécie de do protocolo do irmão mais velho. Dizem que o desafio é, ou foi utilizado no recrutamento de empresas como Microsoft ou Google (Como mover o Monte Fuji de William Poundstone). O problema é assim.

Cinco piratas pilharam um pote com 100 moedas de ouro. Para dividir as moedas entre eles, definiram o seguinte protocolo.

1. O pirata mais velho propõem uma partilha.
2. Todos votam, inclusive o mais velho. Se a partilha for aprovada pela metade ou mais, realiza-se a partilha como proposto, caso contrário, mata-se o pirata mais velho, e a palavra é passada para o segundo pirata mais velho reiniciando o processo.
   

A pergunta é: Você é o pirata mais velho, que partilha você propõem de maneira a maximizar o seu ganho?

Grau de Investimento

Hoje o Brasil ganhou o famigerado "grau de investimento". A agência de classificação de risco Standard & Poor's elevou a nota do país para BBB- sinalizando que o Brasil é hoje um país capaz de saldar seus compromissos financeiros. A bolsa subiu instatâneamente, o dolar caiu, e o país dá mais um passo em direção a estabilidade econômica.

Muitos brasileiros irão, pela primeira vez, colocar parte de seu rico dinheirinho na bolsa, pressionados pela histeria da mídia, amigos, parentes, e histórias de sucesso por todos os lados. Enfim, é um bom momento para lembrar que nossa vergonhosa imperícia para lidar com porcentagens pode ser bastante perigosa.

Suponha que você comprou algumas ações hoje, sua estréia na bolsa. No primeiro mês, o valor da ação aumentou 5%, no segundo mês, o valor caiu 5%. Bom, pensará você, não perdi nem ganhei nada, afinal tudo o que subiu mês passado, caiu neste mês. Certo?

Errado, você perdeu dinheiro, supondo que o valor inicial foi R$ 100,00, no primeiro mês você tinha R$ 105,00. Porém no final do segundo mês suas ações valiam 105x0,95 = R$ 99,75

Agora, suponha o inverso, que inicialmente sua ação caiu 5%, porém no outro mês ela subiu, os mesmos 5%. Agora ganhei dinheiro afinal, pensará você.

Errado de novo, você perde novamente! No final do primeiro mês você terá $95,00, e no final do segundo o valor será 95x1,05 = R$ 99,75

De qualquer modo, sempre que suas ações oscilarem de maneira que a porcentagem de aumento seja igual a de queda, você perde dinheiro. Aplicando por um ano, se as ações subirem 5% em 6 meses, e cairem 5% nos outros 6 meses, você perderá dinheiro, independente da ordem em que os aumentos ou quedas ocorram.

Agradecimentos

Recebi o curioso exemplo acima de um colaborador homônimo. A primeira vista é algo estranho, afinal meu nome não é lá muito comum. Quantos Alexandre Eisenmann você conhece? Porém, uma análise mais detalhada mostrou que tal colaborador é meu parente, irmão mais novo de meu pai, portanto meu tio. Bom, pelo menos minha família está lendo o blog!! Oi tio!

Show do Milhão

Você foi convidado para participar do Show do Milhão! É, parece que a sorte bateu na sua porta, você que sempre foi considerado super inteligente por colegas, amigos e a família. Agora é a sua chance, afinal, você não é como aqueles outros convidados do programa que escorregaram logo nas primeiras perguntas. Enfim, será um grande dia e você finalmente resolverá sua situação financeira, se não ganhar o milhão, você ficará feliz com 100 ou 200 mil.

No dia da gravação do programa, você já não estava tão confiante. Muita coisa estava acontecendo ao mesmo tempo, a ansiedade estava nas alturas e você não queria decepcionar seus amigos e familiares. Iria aparecer pela primeira vez num programa de TV, conhecer o Silvio Santos e tinha ainda que parecer confiante.

E o show começou, vieram as primeiras perguntas, e... graças a Deus... eram simples como você esperava. Você começou bem, acertou a primeira, a segunda, a terceira. Chamou os universitários na quarta, pediu ajuda da platéia em alguma outra, sacou a dica que o Silvio Santos lhe deu e acertou a penúltima. Nossa, você acertou todas, só falta a pergunta do milhão! Silvio perguntou se você queria parar por aí e pegar o dinheiro. Você, com a confiança recobrada desafiou. Não, quero o milhão.

A pergunta derradeira então foi feita.

Algo não caiu bem, a pergunta era surpreendentemente fácil, você sabia disso, porém, por algum motivo, você não tinha certeza da reposta. O coração acelerou, as mão ficaram geladas, agora não dava pra voltar atrás. Enfim, você foi em frente e escolheu sua alternativa... a ERRADA! Você perdeu! Vai ter que voltar pra casa com o prêmio de consolação que mal paga o tempo que você gastou.

Não desejo a história relatada acima para ninguém. Porém, suponha que isso realmente ocorreu com você, ou pior, que ainda vai ocorrer. Gostaria de saber, caro leitor, qual é a pergunta que você preferiria ter errado entre as 3 que apresentarei abaixo:

1. Qual é a capital da Colômbia ?
a) La Paz
b) Buenos Aires
c) Bogotá
d) Quito
e) Caracas

2. A girafa é um:
a) réptil
b) crustáceo
c) molusco
d) mamífero
e) anfíbio

3. Quantas casas decimais tem o número PI
a) 0
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinito


Não fiz uma pesquisa formal e realmente gostaria de saber a opinião do leitor. Porém, numa coleta ocasional de opiniões pude constatar o que temia. A grande maioria prefere errar a questão 3, que envolve algum conhecimento de matemática. As pessoas em geral pensam que não saber matemática é romântico, é cool, é chique. Quase escuto o pensamento delas: "Eu gosto da vida, das pessoas, das relações humanas, gosta da natureza e das belezas da vida, tenho ojeriza a matemática e aos números, eles não tem vida, não tem emoções, são chatos e enfadonhos. Não é pra mim."

Quantos de nós já ouviu algo do tipo: "ai, nunca fui bom em matemática", "nossa, eu não sei fazer essa conta, odeio matemática". De fato, as pessoas tem quase orgulho de dizer esse tipo de coisa. Pior do que perder o milhão é passar vergonha na frente do Brasil inteiro, ou principalmente dos amigos. Então melhor não saber matemática do que falar que a capital da Colômbia é Buenos Aires, ou afirmar que a girafa é um réptil. Alguns argumentarão que a questão sobre o PI é muito mais difícil que as outras, portanto é melhor errar essa. Eu pergunto, é mais difícil mesmo?

Há alguns anos estava ministrando um curso sobre uma linguagem de programação para estudantes de ciência da computação. Um dos exercícios consistia em realizar um aumento de 20% para todas as pessoas que constavam no banco de dados. Até aí, nenhum problema. O passo seguinte do exercício consistia em voltar atrás, supondo que o aumento foi indevido, retornar os valores ao ponto que estavam. Surpreendentemente, nenhum dos 8 alunos conseguiu resolver o problema. Os 3 que tentaram cometeram o mesmo erro: eles aplicaram 80% ao valor obtido no primeiro exercício.

Salário Inicial: $ 100,00
Salário com aumento de 20% : $ 120,00
Tentativa de voltar ao salário inicial considerando 80% de $ 120,00: $96,00

$ 100,00 é diferente de $ 96,00

Não fiquei muito incomodado com o erro em si, fiquei incomodado com a indiferença ou talvez com a falta de vergonha, não ouvi nem um: "ah... é mesmo.". Os alunos continuaram impassíveis como se aquele erro não fosse assunto do curso.

E quanto ao PI

O número PI possui infinitas casas decimais. Ele é impressionante em muitos sentidos, e há livros inteiros escritos sobre ele. O PI é definido como a razão entre o comprimento da circunferência de um círculo e o seu diâmetro, para QUALQUER círculo.

Quando perguntei para um grande número de pessoas, quantas casas decimais tinha o número PI, obtive um número alarmante de repostas 2. Provavelmente as pessoas se lembravam que o PI é igual a 3,14 e não

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097
4944592307816406286208998628034825342117067982148086513282
3066470938446095505822317253594081284811174502841027019385
2110555964462294895493038196442881097566593344612847564823
3786783165271201909145648566923460348610454326648213393607
2602491412737245870066063155881748815209209628292540917153
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Intervalo entre Números Primos

Minha mulher me pediu 5 números consecutivos que não fossem números primos.

Não acreditam? Ok, ela não pediu isso mesmo, é claro, fui eu quem a induzi a fazer esta pergunta. Em resposta apresentei a lista, que já havia calculado anteriormente: 24,25,26,27,28

Ela não se impressionou e ainda me olhou com uma cara esquisita do tipo: “Você está com algum problema?”. Não desanimei e lembrei-a que todos os números da minha lista não eram primos. Ela deu de ombros e continuou a fazer coisas menos nobres e importantes como, por exemplo, o meu jantar. (em minha defesa, eu faço o jantar às vezes, faço uma pizza maravilhosa, vem até com embalagem da pizzaria da esquina).

Desafiei-a a fazer o mesmo, e pedi para me fornecer 3 números consecutivos não primos. Ela, jubilosa, disse: 14,15,16.

Fiz contato!

Ela investiu novamente, exigindo uma lista de 10 números. Já treinado, disparei: 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123.

Antes que o leitor me julgue um idiot savant, acrescento que já havia calculado alguns valores adiantando os números que ela tipicamente iria escolher.

Era minha vez novamente. Pedi entusiasmado: "Quero uma lista com 14000 números." Ela respondeu : "O jantar está na mesa!". Pronto, fim da brincadeira.

Espaço Mobral: Um número primo é um número que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo sem deixar resto. Os primeiros números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...

Matemáticos dificilmente encontram apoio social para conversar sobre seus assuntos prediletos, de maneira que muitas vezes fragmentos de atenção de baixa qualidade como esse são suficientes para despertar nossa vontade de pesquisar um pouco mais profundamente.

Uma chance para a computação

Instintivamente não é óbvio que uma lista tão grande possa existir, afinal a lista de números primos é infinita e eles não parecem estar muito espaçados.

Enfim, a pergunta é: É possível encontrar uma lista de 14000 números consecutivos que não são primos?

Esta pergunta, que eu mesmo fiz (matemáticos muitas vezes falam sozinhos) me inspirou a utilizar artilharia mais pesada. Desenvolvi um programa para encontrar a tal mega lista, se é que ela existe. Para testá-lo, comecei com listas pequenas, pedi 10 números e o programa respondeu os mesmos 10 que eu havia dito para minha esposa. Bom sinal.

Pedi 20 números e obtive: 1130 , 1131, 1132,...

Pedi 100 números e obtive: 370262, 370263, 370264, ...

Guloso, pedi 14000 e ... esperei... Esperei tanto que desisti . O programa simplesmente não parou de rodar. Diante deste quadro, a única conclusão é que o programa procurou (e procurou muito) mas não encontrou a lista nos primeiros milhões, ou bilhões (quem sabe) de números. Ainda assim não é possível afirmar que tal lista não existe, apenas que o computador ou o programa são lentos demais. Frustrante!

Um belo teorema

Sempre acreditei que quando a computação falha devemos recorrer a matemática, e parece que isso se encaixa perfeitamente a esse caso. Existe um belíssimo teorema sobre o assunto. O teorema diz que: “É possível conseguir listas de números não primos de QUALQUER tamanho”. Que 14000 que nada! Eu quero agora uma lista de 1.000.000!

O teorema ilustra uma técnica para se construir o primeiro número da lista desejada. A receita é a seguinte:

Suponha que queremos uma lista com 5 números consecutivos não primos. Então devemos:

• Escolher um número inteiro maior do que 1, digamos n

• Obter o primeiro número da lista calculando n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + n

Por exemplo, considerando n = 2, teríamos 2 x 3 x 4 x 5 x 6 + 2 = 722. De fato a lista 722, 723, 724, 725, 726 só possui números não primos. Podemos escolher qualquer valor para n. No caso n = 3, a lista seria 2523, 2524, 2525, 2526, 2527, também uma lista válida.

Observe que a fórmula não diz nada sobre encontrar a lista cujos números são os menores possíveis, ela apenas garante que encontraremos alguma lista do tamanho desejado. Como vimos anteriormente, a lista 24, 25, 26, 27, 28 é uma lista com números menores.

Para construir listas maiores basta estender a formula com mais fatores. Por exemplo, a fórmula para encontrarmos uma lista com 7 números será n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6) + n.

Ora, mais por que isso funciona? Simples, observe que o número n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + n é divisível por n, portanto um número não primo (já que n é maior do que 1). O próximo número n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + (n+1) também não é primo pois é divisível por (n+1). Enfim, o raciocínio pode ser estendido para todos os números consecutivos até n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + (n+4) que obviamente é divisível por (n+4).

Enfim, existem infinitos números primos e, mesmo assim, sempre é possível encontrar qualquer intervalo de números sem que ao menos 1 primo apareça. Este intervalo pode ser tão grande quanto desejarmos. Sabemos então que uma lista de 14000 números consecutivos não primos existe, só não conseguimos calcular seus números devido ao tamanho imenso do mesmo. Mesmo uma lista de 117 números, que meu computador conseguiu calcular, começa no número 1.349.534.

O Problema da Rota Colorida

A cidade de Manaus possui cerca de 2 milhões de habitantes. Apesar de não ser tão grande como São Paulo ou Rio de Janeiro, localizar um endereço em Manaus é uma das tarefas mais frustrantes que o motorista será obrigado a enfrentar. Em geral as ruas não possuem nomes (apenas apelidos) ou quando possuem não há placas informando.

Quando tudo parece bem, a rua possui nome e placa, certamente a numeração das casas estará totalmente desordenada. Depois das casas, digamos, 35 e 44 podemos encontrar a casa 7 seguida da 35 (novamente) ou podemos encontrar as casas 1322 seguido das casas 511 e 688. Ímpares e pares compartilham o mesmo lado da rua sem o menor pudor.

Quando você compra um eletrodoméstico numa loja de departamentos, o funcionário, além de perguntar o endereço, exige uma referência. Na verdade, o campo referência é obrigatório no seu sistema e sem isso a compra quase não pode ser feita.

Dirigir na cidade de São Paulo não é muito melhor. É certo que as ruas possuem nomes e placas e a numeração é ordenada e coerente mas a malha viária é tão complexa que fica difícil para o motorista entender.

Realizar retornos, corrigir rotas erradas, memorizar um trajeto são todas tarefas difíceis para o não taxista. Para piorar, você nunca está sozinho, para qualquer lugar que você vá, você terá companhia, e muita. Como todos sabemos, o trânsito em São Paulo é realmente infernal!

Dependendo de como a malha viária de uma cidade for organizada e construída, a vida dos motoristas e pedestres pode ficar muito mais fácil. Quem conhece Manhatam, por exemplo, sabe como é fácil se localizar e encontrar um endereço. Lá, as próprias ruas são numeradas de maneira que, se estamos na quinta avenida e deserjarmos ir para a sétima sabemos de antemão que precisamos caminhar 2 quadras em determinado sentido.

A topologia da malha viária é também bastante simples, aproximando-se de um grande quadriculado com ruas no sentido norte-sul e outras no sentido leste-oeste. Fácil não?

Podemos fazer melhor? Será que é possível projetarmos uma cidade com um sistema de localização diferente, que facilite ainda mais a vida das pessoas? Que seja simples e fácil de se orientar?

Incrivelmente o matemático israelense Avharam Trakhman resolveu o Problema da Rota Colorida e esse fato nos dá certeza de que é sempre possível projetar uma cidade com endereço absoluto. Mas o que é endereço absoluto afinal? Bom, estou chamando de endereço absoluto um endereço que cumpre duas funções:

• O endereço por si só pode ser utilizado para se encontrar o local não sendo necessário recorrermos a guias ou ao GPS.

• A rota sugerida pelo endereço absoluto funciona se partirmos de qualquer ponto da cidade. Ressalto a palavra qualquer e acrescento: O endereço absoluto é independente do ponto de partida.

Para exemplificar a idéia do endereço absoluto vou recorrer a um exemplo. Suponha uma mini-cidade com a malha viária representada na figura abaixo. As linhas azuis e vermelhas são as ruas, a direção permitida é representada pelas setas e os pequenos círculos são cruzamentos. O endereço do cruzamento amarelo é AVVAVVAVV enquanto o endereço do cruzamento verde é AAVAAVAAV.

Cada letra do endereço representa qual rua devemos seguir, a rua (A)zul ou a rua (V)ermelha. O incrível é que a rota AVVAVVAVV levar-nos-á ao cruzamento amarelo a partir de qualquer, isso mesmo, qualquer ponto do mapa. A rota AAVAAVAAV, analogamente, levará o motorista ao cruzamento verde independente do ponto de partida. Verifique!

Imagem retirada da wikipedia para explicação do Problema da Rota Colorida

Trakhman não estava de fato preocupado com urbanismo ou melhoria do sistema de orientação das cidades. O "Problema da Rota Colorida" está relacionado a teoria dos Grafos, entidades matemáticas abstratas representadas por desenhos como a figura acima. Também não é qualquer grafo (neste contexto troque por malha viária, se quiser) que tem essa propriedade, mas sempre será possível produzir um grafo com "endereço absoluto" se seguirmos as hipóteses descritas no teorema de Trakhman. Transformadas para a linguagem da malha viária as hipóteses são:

• Escolhidos dois cruzamentos quaisquer deverá ser sempre existir uma rota que parte de um cruzamento ao outro.
• Todos os cruzamentos deverão ter o mesmo número de opções de saída. Em nossa figura, esse número é igual a dois, observe que temos duas opções de saída, e somente duas, para cada um dos cruzamentos.

Se obedecermos as duas regras acima é possível projetarmos cidades com endereço absoluto de quaisquer dimensões.

O "Problema da Rota Colorida" estava sem solução desde que foi proposto por uma equipe de matemáticos dirigidas pelo professor Binyamin Weiss em 1970. A notícia da demonstração foi noticiada em todo o Brasil em 8 de fevereiro de 2008 e quem quiser pode consultar aqui.

Na realidade não sei se construir cidades com este conceito é economicamente viável ou se de fato é simples para as pessoas memorizar grandes sequências de letras. De qualquer maneira o conceito é sedutor e surpreendente. Antes da prova de Trakhman eu não fazia idéia, e acredito que o leitor também não, de que é possível construir mapas com endereço absoluto.

Prêmio de 2000 R$!

Ofereço 2000 reais para o primeiro que resolver o desafio abaixo.

Deslizar as placas numéricas de forma a alterar o número 14 com número 15 e ordenar todo o conjunto. Como todos sabem este clássico brinquedo só permite movimentos em direção ao espaço vazio das placas imediatamente adjacentes, posicionadas em cima, abaixo ou dos lados, não sendo possível destacar placas ou outras malandragens do tipo. A figura à esquerda mostra o ponto de partida enquanto a figura da direita mostra aonde devemos chegar para completar o desafio.

Considerei 2000 reais um valor adequado. Se oferecesse mais não me levariam a sério, se oferecesse menos não levariam a tarefa a sério. Além disso, 2000 R$ é equivalente a 1000 dólares, quantia que Sam Loyd ofereceu em 1878 para quem resolvesse o mesmo problema, então, porque não seguir a tradição.

Sam Loyd foi o maior expert americano em puzzles da época. Em suas próprias palavras, ele “deixou o mundo inteiro doido” ao propor “seu” recém descoberto puzzle 14-15. Na verdade a história provou não ter sido ele o primeiro a propor o puzzle. De fato o criador foi o agente postal Noyes Chapmak que inclusive solicitou a patente da descoberta. Para conhecer mais a história consulte http://bd.thrijswijk.nl/15puzzle/15puzzen.htm

Porque Sam Loyd esbanjou tanto dinheiro assim? Porque eu mesmo, seguindo os passos dele também estou esbanjando? Simples, Sam Loyd não precisou pagar um centavo pois ninguém resolveu o problema. E eu também não vou perder nada, pois o problema não possui solução, é impossível resolvê-lo.

Sam Loyd foi bem mais longe, ele não disse que era impossível e deixou algumas pessoas realmente enfurecidas. Eu adotarei outra abordagem, tentarei provar sem usar uma linguagem muito técnica que é impossível.

Como é possível provar que algo é impossível?

Provar que algo é impossível sempre despertou minha curiosidade. É simples imaginar como provar que algo é possível, basta fazê-lo e pronto, é possível. Por outro lado, provar que algo é impossível sempre me soou como uma desculpa para... Ora... é impossível porque ninguém ainda fez.

Não era possível ir até a Lua até que alguém foi lá e fez! Não era possível alguém ser atingido por um raio 7 vezes até que alguém foi lá e tomou! Bom, para aqueles inclinados a fazer os comentários ao lado sugiro acompanhar a demonstração abaixo, onde de fato é possível provar que resolver o puzzle 14-15 é impossível a ponto de eu oferecer 2000 reais ou muito mais para quem resolvê-lo.

Um passeio pelo problema

Uma tentativa de solução pode ser entendida com um "passeio" do espaço vazio através do tabuleiro. O passeio deverá começar e terminar na mesma posição, isto é, abaixo e à direita. Por exemplo, suponha que durante uma tentativa o espaço vazio realize o seguinte passeio, representado na figura pela seta em azul: Esquerda-Esquerda-Cima-Direita-Cima-Direita-Baixo-baixo. Esse passeio possui, portanto, 8 passos de comprimento, mas como vocês podem verificar, não resultou na configuração desejada.

Todo passeio (e somente) que comece e termine no canto inferior direito é um candidato a solução. Observe, portanto, que a solução deverá necessariamente ser um passeio com um número par de passos. É fácil perceber isso se levarmos em conta que o número de passos para a esquerda deverá ser igual ao número de passos para a direita, da mesma forma, o números de passos para cima deverá ser igual ao número de passos para baixo. Só assim voltaremos ao ponto em que saímos, e obviamente esta exigência resulta em um número par de passos.

Esse é nosso primeiro resultado e vou destacá-lo para utilizarmos futuramente.

Uma solução, se existir, deverá necessariamente possuir um número par de passos.

Uma medida para a organização

Cada passo ou movimento altera a organização do jogo, porém não temos uma medida de organização que possa servir de parâmetro para cada movimento. Por exemplo, dado duas configurações, é difícil dizer qual é a que está mais organizada. Bom, vou propor uma medida e o leitor irá verificar que ela será muito útil para a solução do problema. Chamarei esta medida de medida I.

Primeiramente, vou estabelecer que quando a configuração está o mais organizada possível, isto é, totalmente ordenada, ela possui medida I = 0. Assim, representando a configuração em apenas uma tira de números temos (note que representei o espaço vazio com o número 16):

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Medida I = 0

Toda a vez que um número possui números menores a sua direita, contamos um. Por exemplo, a partir da sequência totalmente ordenada (I=0), invertemos o número 6 com o número 10. A tabela abaixo apresenta esta nova disposição, que por sua vez terá I=7, resultado da soma 4+1+1+1.

1	2	3	4	5	10	7	8	9	6	11	12	13	14	15	16
0	0	0	0	0	4	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0

Medida I = 7

Abaixo da sequência que queremos analisar inclui uma linha suporte. Cada posição da linha suporte, deverá conter a quantidade de números da linha original que são menores do que o que está acima. Note que o número 10 possui 4 números menores do que ele à sua direita, a saber, 7, 8, 9 e 6. Já o número 7, possui apenas 1 número menor que ele posicionado a sua direita, o número 6. Enfim, somando os números da linha suporte obteremos a medida I.

Análise dos movimentos no puzzle 14-15

São quatro os movimentos possíveis no puzzle 14-15. Podemos ir para a esquerda, para a direita, para cima ou para baixo. Como estes movimentos podem alterar a medida I? Vamos começar com o fácil, os movimentos na horizontal. Observe que quando caminhamos para a esquerda ou para a direita, realizaremos a inversão entre dois, e apenas dois vizinhos, de maneira que nossa medida I será acrescida ou diminuída de 1 unidade na nova configuração. Para facilitar, vamos dar um nome a este movimento simples. A partir de agora, quando trocamos de posição dois vizinhos estaremos fazendo uma Inversão.

Um pouco mais difícil é a análise do que ocorre com a medida I como reflexo dos movimentos verticais. Note que qualquer movimento vertical irá trocar de posição dois números que estão distante entre si em 4 unidades, em função da dimensão do tabuleiro. Assim, independente dos valores originais, um movimento vertical, seja para cima ou para baixo, deverá transformar uma configuração da forma

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

numa configuração, por exemplo, da forma

A

B

C

H

E

F

G

D

I

J

K

L

M

N

O

P

a

b

c

?

?

?

?

h

i

j

k

l

m

n

o

p

Cada letra minúscula é o valor suporte para a determinação da medida I. Note que quase todos eles permanecerão o mesmo depois do movimento vertical HD. Assim, o novo valor da medida I depende exclusivamente dos valores representados pelos pontos de interrogação.

Como não conhecemos os valores representados pelas letras maiúsculas, decisão que tomei para deixar o argumento genérico, fica difícil conhecermos estes novos valores. Porém, há um forma; podemos calcular quantas Inversões são necessárias para alcançarmos a segunda configuração a partir da primeira, lembrando que uma Inversão no sentido que discuto aqui é a troca de posição entre dois vizinhos. Acompanhe o desenvolvimento na tabela abaixo.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

A

B

C

E

D

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

A

B

C

E

F

D

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

A

B

C

E

F

G

D

H

I

J

K

L

M

N

O

P

A

B

C

E

F

G

H

D

I

J

K

L

M

N

O

P

A

B

C

E

F

H

G

D

I

J

K

L

M

N

O

P

A

B

C

E

H

F

G

D

I

J

K

L

M

N

O

P

A

B

C

H

E

F

G

D

I

J

K

L

M

N

O

P

Foram necessárias 7 inversões para alcançarmos a segunda configuração. Como cada inversão acresce +1 ou -1 à medida I, um movimento vertical poderá acrescentar:

+1+1+1+1+1+1+1 = +7
+1+1+1+1+1+1-1 = +5
+1+1+1+1+1-1-1 = +3
+1+1+1+1-1-1-1 = +1
+1+1+1-1-1-1-1 = -1
+1+1-1-1-1-1-1 = -3
+1-1-1-1-1-1-1 = -5
-1-1-1-1-1-1-1 = -7

Paridade

Parece que pouco caminhamos para a resolução do problema, porém é apenas aparência, de fato já temos todos os elementos para provar que é impossível resolver o puzzle 14-15.
Sabemos que qualquer movimento horizontal irá alterar a medida I em +1 ou -1 e que qualquer movimento horizontal irá alterar a medida I em -7,-5,-3,-1,1,3,5 ou 7. Então, resumindo, podemos ter certeza de que qualquer movimento no puzzle irá alterar a medida I em um número ímpar, seja positivo ou negativo.

Ora, também sabemos que qualquer solução possível deverá conter um número par de movimentos. Como cada movimento é um número ímpar e par vezes ímpar é um número par, podemos concluir que qualquer solução possível irá alterar a medida I em um número par. Para ressaltar a importância deste resultado, irei emoldurá-lo abaixo:

Qualquer solução possível deverá alterar a medida I em um número par.

O golpe final

A resolução do puzzle 14-15 envolve a transformação da configuração 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-15-14-16 de medida I=1 na configuração 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16 de medida I=0. Como qualquer solução possível altera a medida I em um número par, é impossível resolver o problema.

Então não ganharei dinheiro?

Não, você não ganhará dinheiro algum pois não é possível resolver o problema. Porém, para quem ficou frustrado tenho uma receita infalível para ganhar algum. Basta seguir o procedimento abaixo:

1. De algum jeito faça com que seus amigos tomem conhecimento da insolubilidade do puzzle 14-15. É muito importante que eles não saibam que você sabe que eles sabem disso.
2. Finja que você está se descabelando para resolver o puzzle que apresentarei logo abaixo. O puzzle é muito parecido com o 14-15.
3. Em algum momento eles irão comentar. "Seu burro, isso não tem solução".
4. Diga que tem sim uma solução e que logo você vai descobrir.
5. Ele, no alto de sua arrogância, dirá algo do tipo: "Não tem não, você é muito burro".
6. Ele está pronto! Agora é a sua deixa, aposte com ele que tem sim. Sugiro 10 ou 20 reais, talvez um almoço.
7. Se tudo der certo ele cairá como um patinho e aceitará a aposta.
8. Resolva o problema na frente dele e pegue o dinheiro.
   

Abaixo o puzzle "Resolva! Se puder". O objetivo é corrigir a grafia da frase invertendo as duas últimas letras. A primeira vista parece ser igual ao puzzle 14-15, porém por algum motivo, que desafio o leitor a descobrir, é possível resolvê-lo.

Bom almoço.

A gravidade dá a tacada certa!

O sentimento de encanto e surpresa é prerrogativa dos jovens. Não me refiro aos jovens de idade, mas aos jovens de espírito. Falar que a natureza é bela não passa de um clichê que estamos fartos de ouvir, por outro lado, sentir que ela é bela é um privilégio destes iluminados jovens de espíritos.

Esconda sua face de um bebê e apareça repentinamente com um sorriso. O bebê irá sorrir, talvez gargalhar. Faça de novo e ele sorrirá novamente. Repita a operação quantas vezes quiser. O bebê terá sempre a mesma reação e você perderá o encanto pela brincadeira bem antes dele.

Com o tempo é natural que nossa capacidade de se encantar sofra mutações e adquira novas formas e matizes, se torne mais elaborada, mais sofisticada. Às vezes precisamos viajar longos quilômetros no tempo ou no espaço para alcançar a perspectiva adequada e viver novamente a sensação de encanto pela vida.

Durante a faculdade de matemática conheci o Daniel Jorge, meu colega de classe. Daniel é uma pessoa ímpar, assombrosamente culto, idéias originais misturado com alto grau de erudição. No alto de seus 60 anos de idade consegue ainda se indignar e se encantar com os sabores e dissabores da existência.

Um dia ele me contou uma história sobre quão interessante é a força da gravidade, ação que percebemos todo o dia e está longe de ser surpreendente. Lembro que ele me disse que a história não era de fato dele, estava repetindo as palavras de um grande autor cujo nome infelizmente não consigo lembrar:

— Alexandre — ele disse — suponha uma mesa de sinuca com duas bolas posicionadas à mesma distância de uma das bordas. Uma das bolas é uma bola de sinuca comum, a outra, porém, é uma bola de boliche.

— Ok — disse eu.

— Agora, pegue dois tacos, um com cada mão. Você deverá dar simultaneamente uma tacada em cada uma das bolas.

— Como faço isso?

— Ué, você tem duas mãos, cada uma segura um taco e ao mesmo tempo dá as duas tacadas.

— Hum... certo, mas pra quê?

— Calma, já explico, seu objetivo é dar as tacadas de tal forma que as duas bolas alcancem a borda oposta exatamente ao mesmo tempo.

— Exatamente ao mesmo tempo?

— Sim, exatamente ao mesmo tempo, você acha que consegue?

— Bom, exatamente ao mesmo tempo, acho que não, na verdade sinto que é muito difícil fazer isso. Os instantes de tempo podem ser arbitrariamente pequenos e qualquer imprecisão será detectada...

— É, é provavelmente impossível para você conseguir, ou para qualquer um de nós. Porém a Gravidade consegue!

— Que??!

— Cole as bolas na mesa e vire todo o sistema na posição vertical.

— Não vejo aonde você quer chegar.

— Tenha um pouco de paciência... Agora, suponha que as bolas descolem exatamente ao mesmo tempo. Naturalmente elas irão cair e, como você sabe, encontrarão a borda inferior exatamente ao mesmo tempo.

— Mas... E daí?

— Ora, a gravidade dá a tacada certa! Você não vê?

Bom, termino aqui com um desafio. Surpreendam-se com a força da gravidade, se puderem, é claro.

Yam!

Atendendo a pedidos finalmente desenvolvi e disponibilizei online o jogo Yam. Para jogar basta se cadastrar e jogar. É de graça! Clique aqui para Jogar!

A versão que implementei é aquela comercializada pela Grow que muitos de vocês deverão conhecer. O Yam da Grow utiliza cartelas, lápis e dados reais, além disso pode ser jogado em grupos de pessoas, cada uma preenchendo sua própria cartela. A versão que desenvolvi deve ser jogada individualmente na Web, porém, em contrapardida, estabeleci um sofisticado sistema de ranking para enriquecer a experiência de quem joga.

O Yam é um jogo de dados, cinco precisamente. Alguns consideram o Yam uma espécie de pôquer de dados, provavelmente motivados pelo fato de que no Yam o jogador poderá obter uma Quadra, Um Full-House ou Seguidas, resultados idênticos aos do pôquer. Porém, o Yam não envolve apostas, nem são comparados jogos entre os jogadores. Para jogar bem o Yam e conseguir um boa pontuação é necessário sorte, raciocínio lógico e uma boa dose de estratégia. Jogadores iniciantes dificilmente conseguirão bons scores mesmo com um bom grau de sorte.

Objetivo

O objetivo do Yam é preencher todas as células da tabela e obter o maior número possível de pontos.

Jogada

Uma jogada equivale ao resultado obtido após 3 ou menos lançamentos dos dados seguido do preenchimento de uma célula na tabela. No primeiro lançamento o jogador irá lançar necessariamente os 5 dados. Se o resultado agradar, ele para por aí, preenche uma célula da tabela e a jogada está concluída. Se quiser melhorar o resultado ele separa os dados que não quer mexer (clicando neles) e lança os demais. Novamente, se após o segundo lançamento o resultado ainda não tiver do seu agrado, ele tem sua terceira e última chance.

Tipicamente o jogador irá jogar 3 vezes os dados antes de preencher uma célula, afinal não é fácil obter um bom resultado, tanto que uma jogada de apenas um lançamento recebe um nome e tratamento especial, dizemos que a jogada foi no SECO.

Tabela

A tabela é composta por quatro colunas, Descida, Subida, Desordem e Seco, cada coluna possui 13 células a ser preenchidas pelo jogador (em verde claro na tabela abaixo) e 3 células de totais que serão preenchidas automaticamente pelo jogo (verde escuro). As colunas se diferenciam pela forma como devem ser preenchidas, a coluna Descida deve ser preencida de cima para baixo, a coluna Subida, de baixo para cima. A coluna Desordem, como o próprio nome diz, pode ser preenchida em qualquer ordem.

Finalmente, a coluna Seco, só poderá ser preencida após o primeiro lançamento dos dados, ou seja, o jogador deverá ter obtido o resultado desejado no primeiro lançamento. Se o jogador lançar os dados uma segunda vez, a coluna inteira será desabilitada.

Jogos

Em cada linha da tabela um certo tipo de jogo deverá ser obtido pelo jogador. Se for bem sucedido, o jogador irá ganhar o bônus correspondente ao jogo em questão. Por exemplo, se o jogador obter uma Quadra (quatro dados iguais) na linha Q, deverá marcar a soma dos pontos da quadra mais um bônus de 20 pontos. Isso vale para qualquer uma das quatro colunas. Abaixo, a lista de todos os jogos previstos no Yam:

1	Um	Obter a maior quantidade possível de números 1	Somar os pontos dos dados com número 1
2	Dois	Obter a maior quantidade possível de números 2	Somar os pontos dos dados com número 2
3	Três	Obter a maior quantidade possível de números 3	Somar os pontos dos dados com número 3
4	Quatro	Obter a maior quantidade possível de números 4	Somar os pontos dos dados com número 4
5	Cinco	Obter a maior quantidade possível de números 5	Somar os pontos dos dados com número 5
6	Seis	Obter a maior quantidade possível de números 6	Somar os pontos dos dados com número 6
T	SubTotal		Somar os pontos anteriores. Se o valor for maior ou igual a 60, acrescentar um bônus de 30 pontos.
Q	Quadra	Obter 4 dados iguais	Se obtido, somar os pontos dos dados iguais e acrescentar um bônus de 20 pontos, caso contrário marcar 0
F	Full	Obter uma trinca e uma dupla	Se obtido, somar os pontos de todos os dados e acrescentar um bônus de 30 pontos, caso contrário marcar 0
S-	Seguida Mínima	Obter 1, 2, 3, 4, 5	Se obtido, somar os pontos de todos os dados e acrescentar um bônus de 35 pontos, caso contrário marcar 0
S+	Seguida Máxima	Obter 2, 3, 4, 5, 6	Se obtido, somar os pontos de todos os dados e acrescentar um bônus de 40 pontos, caso contrário marcar 0
-	Mínimo	Somar os pontos dos dados. O resultado deve ser menor do que a célula abaixo (Mínimo).	Somar os pontos de todos os dados. Considerar 0 se o valor for maior do que a coluna abaixo
+	Máximo	Somar os pontos dos dados. O resultado deve ser maior do que a célula acima (Mínimo).	Somar os pontos de todos os dados. Considerar 0 se o valor for menor do que a coluna acima
Y	Yam	Obter 5 dados iguais	Se obtido, somar os pontos de todos os dados e acrescentar um bônus de 50 pontos, caso contrário marcar 0
T	Total		Somar as linhas Q,F,S-S+,-,+,Y
TG	Total Geral		Somar SubTotal com Total

Ranking

Criei um sistema de ranking que privilegia o jogador regular, estrategista, insensível a golpes de sorte. Existe o ranking do dia, o ranking da semana, os melhores resultados e o ranking geral. Para calcular o ranking geral devemos considerar o seguinte critério de pontos:

1º colocado na semana: 8 pontos
2º colocado na semana: 5 pontos
3º colocado na semana: 3 pontos
1º colocado no dia: 1 ponto

Dependendo do número de semanas que você foi primeiro, segundo ou terceiro colocado terá seu score geral acrescido de 8, 5 ou 3 pontos respectivamente. Se você campeão de apenas 1 dia ganhará 1 ponto. Para os propósitos do jogo o primeiro dia da semana é domingo, portanto no próximo domingo o ranking da semana estará vazio, aproveitem! O ranking de melhores resultados não é utilizado para o ranking geral. Esta decisão foi tomada na intenção de diminuir o componente sorte do ranking geral.

O que é um bom resultado?

Adianto que um resultado superior a 1000 já é considerado bom. Se você conseguir mais do que 1100 já pode pensar em ser campeão do dia. Se conseguir mais do que 1200 tem muita chance de ser o campeão da semana. Se ultrapassar os 1300, bom já estamos lidando com profissionais. Só vi um resultado maior do que 1400 e me pergunto porque o fulano não jogou na megasena. Mais que 1500? Nunca vi!